圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積教學(xué)設(shè)計

課題

圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積

單元

第八單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級

高二

教材分 析

本節(jié)內(nèi)容是圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積與體積求法，由上一節(jié)的多面體表面積與體積導(dǎo)入，引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

教 學(xué)

目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：通過圓的面積推導(dǎo)方法由球的表面積推出其體積公式。

2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實際的。

3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點是數(shù)學(xué)中的形在講解時注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，有利于數(shù)學(xué)建模中數(shù)形結(jié)合能力。

4.數(shù)據(jù)分析：通過利用表面積及體積公式解決一些計算問題。

重點

圓柱、圓錐、圓臺與球的表面積。

難點

圓柱、圓錐、圓臺與球的體積。

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

之前已經(jīng)學(xué)過了多面體表面積和體積那么旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積又怎么求呢？

學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

把已學(xué)知識與新知建立聯(lián)系，溫故知新。并引出本節(jié)新課內(nèi)容。

講授新課

1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積

與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個面的面積和。

利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖如圖，可以得到它們的表面積公式：

2.思考1：

圓柱、圓錐、圓臺的表面積之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？

3.練習(xí)一

圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方體，那么這個圓柱的側(cè)面積是（ ）

A 4πS B 2πS C πS D

4.練習(xí)二：

如圖所示，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，D為BC的中點，H，G分別是BD，CD的中點，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180，求陰影部分形成的幾何體的表面積．

5. 圓柱、圓錐、圓臺的體積

對于柱體、錐體、臺體的體積公式的認(rèn)識

(1)等底、等高的兩個柱體的體積相同．

(2)等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實驗得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．

6.思考2：

圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有什么關(guān)系？

7.練習(xí)三：

圓臺的上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是（ ）

8.練習(xí)四：

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB與AD的距離分別為1和2，若將ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

9.球的表面積和體積

設(shè)球的半徑為R,它的表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)。事實上，如果球的半徑為R，那么它的表面積是

10.例一：

如圖，某種浮標(biāo)由兩個半球和一個圓柱黏合而成的，半球的直徑是0.3m.圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)

解：一個浮標(biāo)的表面積為

2π*0.15*0.6+4π*0.15=0.8478（m）

所以給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料

0.8478*0.5*1000=423.9（kg)

11.練習(xí)五：

湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球半徑是_____cm,表面積是______cm。

12.思考3：

在小學(xué)我們學(xué)了圓的面積公式，你還記得是如何求得的嗎？類比這種方法你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式嗎？

13.球的體積：

利用圓的周長求圓的面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積。如圖，把球O的表面分成n個小網(wǎng)格，連接球心O和每個小網(wǎng)格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐形”。

14.當(dāng)n越大，每個小網(wǎng)格越小時，每個“小錐體”的底面就越平?！靶∽刁w”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R，設(shè)O-ABCD是其中一個“小椎體”，它的體積是

由于球的體積就是這n個“小椎體”的體積之和，而這n個“小椎體”的底面積之和就是球的表面積。因此，球的體積

15.例二：

如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。

解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R。

16.練習(xí)六：

在例二的條件下，證明球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。

17.球的截面問題

一平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為( )

解：如圖，設(shè)截面圓的圓心為O’, M為截面圓上任意一點則，.

所以

球的截面性質(zhì)：

①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關(guān)系

18.內(nèi)接球問題：

設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )

解： 作出圖形的軸截面如圖所示，點O即為該球的球心，線段AB即為長方體底面的對角線，長度為＝ ，線段BC 即為長方體的高，長度為a，線段AC即為長方體的體對角線，

長度為 則球的半徑

所以球的表面積S=4πR=6πa.

19.總結(jié)：

（1）.球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為，過在一個平面上的四個切點作截面如圖(1)．

(2).長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，過球心作長方體的對角線，則球的半徑為，如圖(2

（3）正四面體的外接球：正四面體的棱長a與外接球的半徑R的關(guān)系為：

20.練習(xí)

一、《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思是：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知一斛米的體積約1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放米堆約有（ ）

A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛

二、設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是（ ）

小組討論已知圓柱、圓錐表面積公式怎樣推導(dǎo)圓臺體積公式

已知圓柱、圓錐、圓臺表面積公式思考彼此間關(guān)系

獨立完成練習(xí)一、練習(xí)二

學(xué)生小組討論根據(jù)圓柱、圓錐體積公式推導(dǎo)圓臺體積公式

學(xué)生獨立思考圓柱、圓錐、圓臺體積公式之間的關(guān)系

小組討論例一解決方法

學(xué)生獨立思考類比求圓的面積公式如何利用球的表面積公式推導(dǎo)球的體積公式

獨立思考截面問題解決方法，并提問

總結(jié)截面問題解決方法

對已學(xué)知識進(jìn)行檢驗。

段煉學(xué)生推理能力

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力

對已學(xué)知識進(jìn)行鞏固，段煉其計算能力。

段煉學(xué)生推理能力使

使學(xué)生宏觀理解三個公式之間的關(guān)系

段煉學(xué)生類比推理能力

段煉其發(fā)散思維

對學(xué)生新知掌握程度有所了解，培養(yǎng)學(xué)生理論與實際相結(jié)合的能力。