有限樣本空間與隨機事件事件的關系與運算 教學設計

課題

10.1.1 有限樣本空間與隨機事件事件的關系與運算

單元

第十單元

學科

數學

年級

高一

教材分析

本節(jié)內容是在小學和初中學習的基礎上，更進一步的研究隨機事件即樣本空間，從而為概率做準備。

教學目標與核心素養(yǎng)

1.數學抽象：利用生活實例判斷并得出事件的關系；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

3.數學建模：掌握樣本空間、事件的關系和運算；

4.直觀想象：計算和判斷事件的關系和運算；

5.數學運算:能夠正確寫出樣本空間，判斷得出事件的關系和運算；

6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。

重點

樣本空間，事件的關系和運算

難點

樣本空間，事件的關系和運算

教學過程

導入新課

問題導入：

問題一：觀察下列事件，你能發(fā)現(xiàn)什么特點？

（1）將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；

（2）從你所在的班級隨機選擇10名學生，觀察近視眼人數；

（3）在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；

（4）記錄某地區(qū)7月份的降雨量.

（1）在相同條件下可以重復進行；

（2）所有可能結果是明確可知的，并且不止一個。

學生利用問題情景，引出本節(jié)新課內容——隨機試驗。

設置問題情境，回顧上節(jié)課知識點，同時激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力，并引出本節(jié)新課。

講授新課

新知講授（一）——隨機試驗

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示。

我們通常研究以下特點的隨機試驗：

（1）試驗可以在相同條件下重復進行；

（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；

（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不確定出現(xiàn)哪個結果。

新知講授（二）——樣本空間

思考一：體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，2，...，9的球放入搖獎器中，經過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼。這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？

根據球的號碼，共有10種可能結果。

如果用m表示“搖出的球的號碼為m”這一結果，那么所有可能結果可用集合表示{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間。

一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點。

（在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況。）

例1、拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。

解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，

所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}

如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，

則樣本空間Ω={h，t}

例2、拋擲一枚骰子，觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間.

解：用i表示朝上面的“點數為i”.

由于落地時朝上面的點數有1，2，3，4，5，6，共6個可能的基本結果，

所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}.

例3、拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.

解：拋兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結果用y表示，那么試驗的樣本點可用

（x,y）表示.

所以試驗的樣本空間Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.

如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，

所以試驗的樣本空間Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}.

接下來我們用樹狀圖再次理解一下解答過程（圖10.1—1）。

試驗的樣本空間的表示方法：

（1）用樹狀圖表示試驗結果；

（2）用集合表示（列舉法）。

小試牛刀

某運動員射擊打靶，觀察它中靶的環(huán)數，寫出試驗的樣本空間.

解：用i表示朝上面的“環(huán)數為i”.

由于環(huán)數有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11個可能的基本結果，

所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.

新知講授（三）——隨機事件

思考二：在體育彩票搖號試驗中，搖出“球的號碼為奇數”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數”是否也是隨機事件？

“球的號碼為奇數”和“球的號碼為3的倍數”都是隨機事件。

思考三：如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關系？

用A表示隨機事件“球的號碼為奇數”，

則A發(fā)生，當且僅當搖出的號碼為1，3，5，7，9之一，

即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1，3，5，7，9}。

因此，可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機事件A.

同理，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數”.

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示。

為了描述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件。

隨機事件一般用大寫字母A,B,C,...表示。

在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生。

Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件。

而空集Φ不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱Φ為不可能事件。

必然事件與不可能事件不具有隨機性。

為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。

每個事件都是樣本空間Ω的一個子集。

思考四：事件有哪些分類？

例4、如圖10.1-2，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效。把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常。

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個元件正?！?/p>

N=“電路是通路”

T=“電路是斷路”

解：（1）分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，

則這個電路的工作狀態(tài)可用（x1,x2，x3)表示.

同時，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，

則樣本空間Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

用樹狀圖將所有的可能結果表示如下（如圖10.1-3）

（2）“恰好兩個元件正?！钡葍r于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有兩個為1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“電路是通路”等價于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一個是1,

所以N={（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}

同理，“電路是斷路”等價于（x1,x2，x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0

所以T={（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）}

小試牛刀

1、判斷下列事件的類型？

（1）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面

（2）某地12月12日下雨

（3）如果a>b,那么a-b>0

（4）明天是星期八

解：（1）隨機事件（2）隨機事件

（3）必然事件（4）不可能事件

2、拋擲三枚硬幣，可能“正面朝上“，也可能”反面朝上“。把拋擲三枚硬幣朝上的情況看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個現(xiàn)象中朝上的可能性。

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好兩個正面朝上”

N=“最多一個正面朝上”

解：（1）分別用x1,x2和x3表示每一枚硬幣的可能狀態(tài)，

則這個隨機事件的結果可用（x1,x2，x3)表示.

同時，用1表示”正面朝上“，用0表示“反面朝上”，

則樣本空間Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

解：（2）“恰好兩個正面朝上”等價于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有兩個為1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“最多一個正面朝上”等價于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中至多有一個是1,

所以N={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），

（0，0，1）}

新知講授（四）：事件的關系和運算

在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數，可以定義許多隨機事件，如：

Ci=“點數為i ”，i=1，2，3，4，5，6；

D1=“點數不大于3”； D2=“點數大于3”；

E1=“點數為1或2”; E2=”點數為2或3“;

F=“點數為偶數”； G=“點數為奇數”；

你能用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

思考一：用集合的形式表示事件C1=“點數為1 ”和事件G=“點數為奇數”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：C1={1}和G={1，3，5}

顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生。

用集合表示就是

也就是說，事件G包含事件C1.

一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，

我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作（如下圖10.1-4所示）

特別地，如果事件B包含事件A，事件A

則稱事件A與事件B相等，記作A=B.

思考二：用集合的形式表示事件D1=“點數不大于3 ”、事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}

顯然，事件E1和事件E2至少有一個發(fā)生，相當于事件D1發(fā)生。

用集合表示就是

這時我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件。

一般地，若事件A和事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，

我們就稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），

記作

（如下圖10.1-5所示：綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件）

思考三：用集合的形式表示事件C2=“點數為2 ”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：事件E1=“點數為1或2”和事件E2=“點數為2或3”同時發(fā)生，相當于事件C2發(fā)生。

用集合表示就是

這時我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件。

一般地，若事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，

我們就稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），

記作

（如下圖10.1-6所示的藍色區(qū)域）

思考四：用集合的形式表示事件C3=“點數為3 ”和事件C4=“點數為4”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

由已知得：事件C3={3}，事件C4={4}

顯然，事件C3與事件C4不可能同時發(fā)生。

即

這時我們稱事件C3與事件C4互斥。

一般地，若事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B=Φ

我們就稱事件A與事件B互斥（或互不相容）

（如下圖10.1-7所示）

思考五：用集合的形式表示事件F=“點數為偶數 ”和事件G=“點數為奇數”，借助集合與集合的關系和運算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

在任何一次試驗中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一。

用集合可以表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ

我們稱事件F與事件G互為對立事件。事件D1與D2也有這種關系。

一般地，若事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ,

我們就稱事件A與事件B互為對立。

事件A的對立事件記作

（如下圖10.1-8所示）

思考六：你能根據思考一至思考五，你能總結這些事件之間的關系嗎？

類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件。

例如，對于三個事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）發(fā)生當且僅當A,B,C中至少一個發(fā)生，A∩B∩C（或ABC）發(fā)生當且僅當A,B,C同時發(fā)生，等等。

例5、如圖10.1-9，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?。設事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正?！?。

（1）寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；

（2）用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；

（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并說明它們的含義及關系。

解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，

則可以用（x1,x2)表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài)。

以1表示元件正常，0表示元件失效，

則樣本空間Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}

（2）根據題意，可得

例6、一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球。設事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N“兩個球顏色不同”。

（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；

（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？

（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關系？

解：（1）所有的試驗結果如圖10.1.-10所示。

用數組（x1,x2）表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，

則試驗的樣本空間

Ω={（1，2），（1，3），（1，4），

（2，1），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，4），

（4，1），（4，2），（4，3）}

事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2

于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}

事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2

于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}

同理，有于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2），（2，1）,(3，4),(4，3)}

N={（1，3），（1，4）,(2，3),(2，4)，(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}

小試牛刀

1、在某次考試成績中（滿分為100分），下列事件的關系是什么？

① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ；

② B1={不及格}，B2={60分以下} ；

③ C1={95分以上}，C2={90分～95分}；

④ D1={80分～100分}，D2={0分～80分}。

解：①A2包含A1 ②相等

③互斥 ④對立

2、判斷下面給出的每對事件是否是互斥事件或互為對立事件。

從40張撲克牌（四種花色從1~10 各10 張）中任取一張

①“抽出紅桃”和“抽出黑桃”

②“抽出紅色牌”和“抽出黑色牌”

③“抽出的牌點數為5的倍數”和“抽出的牌點數大于9”

解：①互斥但不對立

②對立

③既不互斥也不對立

3、從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數從1～10各10張)中，任取一張．

(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．

判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．

解：（1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”互斥但不對立；因為抽出紅桃和抽出黑桃不會同時發(fā)生，即互斥；但除了紅桃和黑桃還有方塊和梅花，即不對立。

(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”對立；因為紅色牌和黑色牌不可能同時抽取到，而且只有紅色和黑色兩種顏色的牌，所以對立。

(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”既不互斥也不對立；如果抽出的牌是10，既滿足大于9又滿足是5的倍數，也就是說可以同時發(fā)生，所以既不互斥也不對立。

學生根據上述問題，探究隨機試驗。

根據上述推斷得出樣本空間。

利用例題鞏固樣本空間相關知識點。

學生分組合作，探究得出隨機事件。

通過例題加強理解事件的分類。

利用練習題，讓學生對事件類型進一步進行探索。

探索事件的關系和運算。

總結、鞏固事件的關系和運算。

通過例題和練習題，加深學生對事件的關系和運算的理解。

利用練習題讓學生鞏固本節(jié)課的問題。

利用問題情境探究得出隨機試驗,培養(yǎng)學生探索的精神.

給學生養(yǎng)成先推倒后總結的學習習慣。

利用例題鞏固相關知識點，引導學生養(yǎng)成學練考的習慣。

通過分組合作交流，培養(yǎng)學生合作的精神和探索的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內容。

利用練習題讓學生探究本節(jié)課的問題，讓學生形成知識體系，培養(yǎng)學生整體思考的能力。

培養(yǎng)學生探索知識的能力。

培養(yǎng)學生總結知識的能力。

理論聯(lián)系實際，無論是哪部分知識點，都是來源于生活的實際問題，讓學生體會數學來源于生活。

利用練習題讓學生鞏固本節(jié)課的知識點，讓學生形成知識體系，培養(yǎng)學生整體思考的能力。