函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)（2）

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的比重，因而作為函數(shù)的第一節(jié)內(nèi)容，主要從三個(gè)實(shí)例出發(fā)，引出函數(shù)的概念.從而就函數(shù)概念的分析判斷函數(shù)，求定義域和函數(shù)值，再結(jié)合三要素判斷函數(shù)相等.

課程目標(biāo)

1.理解函數(shù)的定義、函數(shù)的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則。

2.掌握判定函數(shù)和函數(shù)相等的方法。

3.學(xué)會(huì)求函數(shù)的定義域與函數(shù)值。

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)教材中四個(gè)實(shí)例總結(jié)函數(shù)定義；

2.邏輯推理：相等函數(shù)的判斷；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)定義域和求函數(shù)值；

4.數(shù)據(jù)分析：運(yùn)用分離常數(shù)法和換元法求值域；

5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)從實(shí)際問(wèn)題中抽象概括出函數(shù)概念的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生從“特殊到一般”的分析問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的抽象概括能力。

重點(diǎn)：函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素。

難點(diǎn)：函數(shù)概念及符號(hào)y=f(x)的理解。

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

初中已經(jīng)學(xué)過(guò)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，那么在初中函數(shù)是怎樣定義的？高中又是怎樣定義？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本60-65頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1. 在集合的觀點(diǎn)下函數(shù)是如何定義？函數(shù)有哪三要素？

2. 如何用區(qū)間表示數(shù)集？

3. 相等函數(shù)是指什么樣的函數(shù)？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、 新知探究

1．函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任何一個(gè)屬x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)x.

(2)函數(shù)的定義域與值域：

函數(shù)y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．

2．區(qū)間概念(a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b)

3．其它區(qū)間的表示

四、典例分析、舉一反三

題型一 函數(shù)的定義

例1下列選項(xiàng)中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數(shù)的是( )

【答案】D

解題技巧：（判斷是否為函數(shù)）

1.（圖形判斷）y是x的函數(shù),則函數(shù)圖象與垂直于x軸的直線至多有一個(gè)交點(diǎn).若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn),則不符合函數(shù)的定義,所對(duì)應(yīng)圖象不是函數(shù)圖象.

2.（對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷）對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系；“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系.

跟蹤訓(xùn)練一

1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數(shù)的是( )

【答案】C

題型二 相等函數(shù)

例2 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):

(1)f(x)=()2,g(x)=;

(2)y=x0與y=1(x≠0);

(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z).

【答案】見解析

【解析】:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=()2的定義域?yàn)閧x|x≥0},而g(x)=的定義域?yàn)閧x|x∈R},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù).

(2)因?yàn)閥=x0要求x≠0,且當(dāng)x≠0時(shí),y=x0=1,故y=x0與y=1(x≠0)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,所以

它們表示同一函數(shù).

(3)y=2x+1(x∈Z)與y=2x-1(x∈Z)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,故它們不表示同一函數(shù).

解題技巧：(判斷函數(shù)相等的方法)

定義域優(yōu)先原則

1.先看定義域，若定義域不同，則函數(shù)不相等.

2.若定義域相同，則化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相等.

跟蹤訓(xùn)練二

1.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):①f(x)=,g(x)=x-1;

②f(x)=,g(x)=;

③f(x)=,g(x)=x+3;

④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;

⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0≤x≤5).

其中表示相等函數(shù)的是 (填上所有正確的序號(hào)).

【答案】⑤

【解析】①f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);

②f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);

③f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù);

④f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù);

⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同,是同一函數(shù).

題型三 區(qū)間

例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則A∩B用區(qū)間可表示為 .

【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]

【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.

∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠3}.

∴A∩B={x|x<-3或-3

即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].

解題技巧：（如何用區(qū)間表示集合）

1.正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點(diǎn)值能否取到,即“小括號(hào)”和“中括號(hào)”的區(qū)別.

2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí),應(yīng)先求出相應(yīng)集合,再用區(qū)間表示.

跟蹤訓(xùn)練三

1.集合{x|0

2. 若集合A=[2a-1,a+2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為 .

【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)

【解析】 (2)由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或[a,b])成立的條件是a

∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3).

題型四 求函數(shù)的定義域

例4求下列函數(shù)的定義域:

(1)y=; (2)f(x)=.

【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]

【解析】(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足解得x<0,且x≠-2.

故原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,0).

(2)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足

故原函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,4].

解題方法（求函數(shù)定義域的注意事項(xiàng)）

(1)如果函數(shù)f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R;

(2)如果函數(shù)f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)組成的集合;

(3)如果函數(shù)f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)組成的集合;

(4)如果函數(shù)f(x)是由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).

跟蹤訓(xùn)練四

1.求函數(shù)y=的定義域.

2.已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1,4],求函數(shù)f(2x+1)的定義域.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)要使函數(shù)有意義,需

解得-≤x<2,且x≠0,所以函數(shù)y=的定義域?yàn)?

(2)已知f(x)的定義域是[-1,4],即-1≤x≤4.

故對(duì)于f(2x+1)應(yīng)有-1≤2x+1≤4,

∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤.

∴函數(shù)f(2x+1)的定義域是.

題型五 求函數(shù)值（域）

例5(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，則f(2)＝________，

f(g(2))＝________.

(2)求下列函數(shù)的值域：

①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝； ④y＝2x－.

【答案】（1） （2）① R ② [2,6) ③ {y|y∈R且y≠3} ④

【解析】(1) ∵f (x)＝，∴f(2)＝＝.

又∵g (x)＝x2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，

∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.

(2) ①(觀察法)因?yàn)閤∈R，所以x＋1∈R，即函數(shù)值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6)．

③(分離常數(shù)法)y＝＝＝3－.

∵≠0，∴y≠3，

∴y＝的值域?yàn)閧y|y∈R且y≠3}．

④(換元法)設(shè)t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?