事件的相互獨(dú)立性教學(xué)設(shè)計(jì)

課題	10.2事件的相互獨(dú)立性	單元	第十單元	學(xué)科	數(shù)學(xué)	年級(jí)	高一
教材分析	本節(jié)內(nèi)容是在事件的關(guān)系與運(yùn)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)事件概率的特性，研究事件的相互獨(dú)立性及其概率的計(jì)算。
教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)	1.數(shù)學(xué)抽象：利用事件的相互獨(dú)立性計(jì)算事件發(fā)生的概率； 2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力. 3.數(shù)學(xué)建模：掌握概率的計(jì)算。 4.直觀想象：通過概率直觀估計(jì)事件發(fā)生的可能性； 5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算概率； 6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。
重點(diǎn)	事件的相互獨(dú)立性及其概率的計(jì)算。
難點(diǎn)	事件的相互獨(dú)立性及其概率的計(jì)算。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課

問題導(dǎo)入：

問題一：試驗(yàn)1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣正面朝上”。

事件A的發(fā)生是否影響事件B的概率？

因?yàn)閮擅队矌欧謩e拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率。

問題二：計(jì)算試驗(yàn)1中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在該試驗(yàn)中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}，包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn)。

而A={（1，1），（1，0）}，B={（1，0），（0，0）}

所以AB={（1，0）}

由古典概率模型概率計(jì)算公式，

得P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25，于是 P(AB)=P(A)P(B)

積事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘積。

問題三：試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異。采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球。設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”。

事件A的發(fā)生是否影響事件B的概率？

因?yàn)槭怯蟹呕孛?，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率。

問題四：計(jì)算試驗(yàn)2中的P(A),P(B),P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在該試驗(yàn)中，樣本空間Ω={（m，n）|m,n∈{1，2，3，4}}

而A={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）}

B={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}

AB={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}

所以P(A)=P(B)=0.5，P(AB)=0.25，于是 P(AB)=P(A)P(B)

積事件AB的概率恰好等于事件A、B概率的乘積。

學(xué)生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容——事件的相互獨(dú)立性。

根據(jù)試驗(yàn)，判斷A、B、AB的概率之間的關(guān)系

設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)整體思考的方法和能力。

講授新課

新知講授——事件的相互獨(dú)立性

事件的相互獨(dú)立性定義

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立。

性質(zhì)：由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義，容易驗(yàn)證必然事件Ω、不可能事件Φ都與任意事件相互獨(dú)立。

這是因?yàn)楸厝皇录缚倳?huì)發(fā)生，不會(huì)受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣，不可能事件Φ總不會(huì)發(fā)生，也不受任何事件是否發(fā)生的影響。當(dāng)然，它們也不影響其他事件是否發(fā)生。

思考一：以有放回摸球試驗(yàn)為例，驗(yàn)證事件是否獨(dú)立。

思考二：互斥事件與相互獨(dú)立事件有什么區(qū)別？

	相互獨(dú)立事件	互斥事件
條件	事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響	不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件
符號(hào)	相互獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生，記作AB	互斥事件A,B中有一個(gè)發(fā)生，記作AUB（或A+B）
計(jì)算公式	P(AB)=P(A)P(B)	P(AUB)=P(A)+P(B)

例題講解

例1、一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異。采用不放回方式從中任意摸球兩次。記事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，那么事件A與B是否相互獨(dú)立？

解：因?yàn)闃颖究臻gΩ={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4}，且m≠n}

A={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}

B={（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}

方法總結(jié)

判斷事件相互獨(dú)立的步驟：

1、寫出樣本空間Ω，并計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；

2、分別寫出事件的所有基本事件，并計(jì)算個(gè)數(shù)；

3、計(jì)算P(A),P(B),P(AB);

4、判斷P(AB)與P(A)P(B)是否相等；

若相等，則相互獨(dú)立；若不相等，則不獨(dú)立。

思考三：如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么P（AB）如何計(jì)算？

事件的相互獨(dú)立性定義是：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立。

因此P(AB)=P(A)P(B).

知識(shí)拓展

如果事件A1，A2，A3，…，An是相互獨(dú)立的，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，

即P(A1A2A3…An)

=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).

例2、甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行設(shè)計(jì)比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：

（1）兩人都中靶；（2）恰好有一人中靶；

（3）兩人都脫靶；（4）至少有一人中靶。

例3、甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)比賽，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為。在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響。求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)三個(gè)成語(yǔ)的概率。例4、三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為，，，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．

求較為復(fù)雜事件的概率的方法

(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；

(2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；

(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；

(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．

常用的相互獨(dú)立事件的概率

課堂鞏固

甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)在1局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知前兩局中，甲、乙各勝1局.

(1)求再賽兩局結(jié)束這次比賽的概率;

(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率.

解：記Ai表示事件“第i局甲獲勝”，i=3，4，5，Bj表示事件“第j局乙獲勝”，j=3，4.

(1)記A表示事件“再賽兩局結(jié)束比賽”，則A=A3A4＋B3B4.