二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象與性質(zhì)教案

1．掌握二次函數(shù)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)圖象之間的聯(lián)系；(重點(diǎn))

2．能靈活運(yùn)用二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的知識(shí)解決簡單的問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

一場籃球賽中，球員甲跳起投籃，如圖，已知球在A處出手時(shí)離地面m，與籃筐中心C的水平距離是7m，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是4m時(shí)，達(dá)到最大高度B處，高度為4m，設(shè)籃球運(yùn)行的路線為拋物線．籃筐距地面3m.問此球能否投中？

二、合作探究

探究點(diǎn)：二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象與性質(zhì)

【類型一】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的特點(diǎn)

關(guān)于二次函數(shù)y＝－(x＋1)2＋2的圖象，下列判斷正確的是()

A．圖象開口向上

B．圖象的對稱軸是直線x＝1

C．圖象有最低點(diǎn)

D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)

解析：∵－1＜0，∴函數(shù)的開口向下，圖象有最高點(diǎn)．∵二次函數(shù)y＝－(x＋1)2＋2的圖象的頂點(diǎn)是(－1，2)，∴對稱軸是x＝－1.故選D.

方法總結(jié)：熟練掌握拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型二】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的性質(zhì)

在二次函數(shù)y＝－(x－2)2＋3的圖象上有兩點(diǎn)(－1，y1)，(1，y2)，則y1－y2的值是()

A．負(fù)數(shù) B．零

C．正數(shù) D．不能確定

解析：∵二次函數(shù)y＝－(x－2)2＋3，∴該拋物線開口向下，且對稱軸為直線x＝2.∵點(diǎn)(－1，y1)，(1，y2)是二次函數(shù)y＝－(x－2)2＋3的圖象上兩點(diǎn)，且－1＜1＜2，∴兩點(diǎn)都在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，∴y1－y2的值是負(fù)數(shù)．故選A.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的對稱軸，確定出對稱軸后，在根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定問題的答案．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型三】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系

將二次函數(shù)y＝x2的圖象向下平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為()

A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2－1

C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1

解析：拋物線y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，把點(diǎn)(0，0)向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，所以平移后的新圖象的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x－1)2－1.故選D.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題

【類型四】由二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象確定a，k的取值范圍

已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2－c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax＋c的大致圖象可能是()

解析：根據(jù)二次函數(shù)開口向上則a＞0，根據(jù)－c是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，得出c＞0，故一次函數(shù)y＝ax＋c的大致圖象經(jīng)過第一、二、三象限．故選A.

方法總結(jié)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a，c的符號(hào)是解題關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

【類型五】確定二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的解析式

已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，且圖象過點(diǎn)(1，－3)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)寫出它的開口方向、對稱軸．

解析：根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)出解析式，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的解析式求得拋物線的開口方向和對稱軸．

解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y＝a(x＋1)2＋2，把點(diǎn)(1，－3)代入解析式，得 a＝－，所以拋物線的解析式為y＝－(x＋1)2＋2；

(2)由(1)的函數(shù)解析式可得拋物線的開口向下，對稱軸為x＝－1.

方法總結(jié)：給出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)通常使用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式來求解析式是解題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

【類型六】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的實(shí)際應(yīng)用

如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求這條拋物線的解析式；

(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD－DC－CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長的最大值是多少？

解析：(1)根據(jù)所建坐標(biāo)系易求M、P的坐標(biāo)；(2)可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，把O點(diǎn)(或M點(diǎn))坐標(biāo)代入用待定系數(shù)法求出解析式；(3)總長由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達(dá)式，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解．

解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，6)；

(2)設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－6)2＋6，∵拋物線y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，即a＝－，∴拋物線解析式為y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x；

(3)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12－m，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(12－m，－m2＋2m)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，－m2＋2m)．∴“支撐架”總長AD＋DC＋CB＝(－m2＋2m)＋(12－2m)＋(－m2＋2m)＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.∵此二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當(dāng)m＝3米時(shí)，“支撐架”的總長有最大值為15米．