二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)教案

1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方寫成y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(重點(diǎn))

2.掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

在跳繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看作拋物線．如圖，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4米，距地面均為1米，學(xué)生丙的身高是1.5米，距甲拿繩的手水平距離為1米，繩子甩到最高處時(shí)，剛好通過他的頭頂．當(dāng)繩子甩到最高時(shí)，學(xué)生丁從距甲拿繩的手2.5米處進(jìn)入游戲，恰好通過．你能根據(jù)以上信息確定學(xué)生丁的身高嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質(zhì)

【類型一】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的性質(zhì)

若點(diǎn)A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三點(diǎn)在拋物線y＝x2－4x－m的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是()

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3

C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

解析：∵二次函數(shù)y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴開口向上，對(duì)稱軸為x＝－＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最?。帧連(－3，y2)，C(－1，y3)都在對(duì)稱軸的左側(cè)，而在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故選C.

方法總結(jié)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減?。?/p>

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型二】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的位置與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，且頂點(diǎn)在第一象限．有下列四個(gè)結(jié)論：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④abc＞0.其中正確的結(jié)論是________(填序號(hào))．

解析：由拋物線的開口方向向下可推出a＜0，拋物線與y軸的正半軸相交，可得出c＞0，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號(hào)，b＞0，∴abc＜0；因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴對(duì)稱軸為－＞0；由圖象可知：當(dāng)x＝1時(shí)，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正確．故答案為①②③.

方法總結(jié)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符號(hào)由拋物線開口方向決定；b的符號(hào)由對(duì)稱軸的位置及a的符號(hào)決定；c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題

【類型三】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一次函數(shù)圖象的綜合

在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx＋m和函數(shù)y＝mx2＋2x＋2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是()

解析：若函數(shù)y＝mx＋m中的m＜0時(shí)，函數(shù)y＝mx2＋2x＋2開口方向朝下，對(duì)稱軸為x＝－＝－＝－＞0，則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸右側(cè)，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；若函數(shù)y＝mx＋m中的m＞0時(shí)，函數(shù)y＝mx2＋2x＋2開口方向朝上，對(duì)稱軸為x＝－＝－＝－＜0，則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.

方法總結(jié)：熟記一次函數(shù)y＝ax＋b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．

【類型四】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與幾何圖形的綜合

已知：如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)，另拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，8)，M為它的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求△MCB的面積S△MCB.

解析：(1)將已知的三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得拋物線的解析式；(2)根據(jù)拋物線的解析式先求出點(diǎn)M和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可將S△MCB化為其他圖形面積的和差來解．

解：(1)依題意可知解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)令y＝0，得(x－5)(x＋1)＝0，解得x1＝5，x2＝－1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)．由y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，9)．作ME⊥y軸于點(diǎn)E，可得S△MCB＝S梯形MEOB－S△MCE－S△OBC＝(2＋5)9－42－55＝15.

方法總結(jié)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

【類型五】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的實(shí)際應(yīng)用

跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線．正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點(diǎn)O的水平距離為1米的點(diǎn)F處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過她的頭頂點(diǎn)E.以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋0.9.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如果身高為157.5厘米的小明站在OD之間且離點(diǎn)O的距離為t米，繩子甩到最高處時(shí)超過他的頭頂，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求出t的取值范圍．

解析：(1)已知拋物線解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋0.9，選定拋物線上兩點(diǎn)E(1，1.4)，B(6，0.9)，把坐標(biāo)代入解析式即可得出a、b的值，繼而得出拋物線解析式；(2)求出y＝1.575時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的兩個(gè)值，從而可確定t的取值范圍．

解：(1)由題意得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，1.4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0.9)，代入y＝ax2＋bx＋0.9，得解得故所求的拋物線的解析式為y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9；

(2)157.5cm＝1.575m，當(dāng)y＝1.575時(shí)，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.575，解得x1＝，x2＝，則t的取值范圍為＜t＜.