空間向量基本定理教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握空間向量基本定理.

B.了解空間向量正交分解的含義.

C.會用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.

1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量基本定理的證明

2.邏輯推理：運用空間向量基本定理解決空間平行與垂直的證明；

3.直觀想象：空間向量基本定理在立體幾何的運用；

4.數(shù)學(xué)運算：運用基底思想和向量運算解決立體幾何問題；

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么用這三個向量表示空間中任意的向量呢？

二、探究新知

知道平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)，類似的任意一個空間的向量，能否用任意三個不共面的向量來表示呢？

因此，如果是空間三個兩兩垂直的向量，那么對于任意一個空間向量p存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使得p= xi+ 。我們稱 xi, 分別為向量p在上的分向量。

探究

如圖1.2-1，設(shè)是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點o，對于任意一個空間向量設(shè)為在所確定的平面上的投影向量，則=+,又向量，共線，因此存在唯一實數(shù)z，使得，從而=+ ，而在所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y），使得=xi+ .從而，=+ = xi+ .

空間向量基本定理

1.定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),

使得p=xa+yb+zc.

2.基底:我們把定理中的叫做空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量.空間任意三個不共

面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.

3.單位正交基底:如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用表示.

由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,

使a=xi+yj+zk,像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

定理辨析

1.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.

2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.

3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.

做一做

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“”.

(1)空間向量的基底是唯一的.( )

(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.( )

(3)已知A,B,M,N是空間四點,若, , 不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.( )

(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.( )

答案: (1) (2)√ (3)√ (4)√

2.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

答案: C

解析:如圖所示,令a=,b=,c=,則x=,y=,z=,a+b+c=.

由于A,B1,C,D1四點不共面,可知向量x,y,z也不共面,

同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故選C.

3.已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,

=-3e1+e2+2e3=e1+e2-e3,試判斷{}能否作為空間的一個基底.

解:設(shè)=x+y,則e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),

即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,

∴此方程組無解.

即不存在實數(shù)x,y,使得=x+y,

所以不共面.

所以能作為空間的一個基底.

典例解析

例1.如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點，P、Q是MN的三等分點．

（1）用向量，，表示和．

（2）若四面體OABC的所有棱長都等于1，求?的值．

(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).

(2)＝(＋′)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.

(3)＝(′＋′)＝[(＋＋′)＋(＋′)]＝a＋b＋c.

(4)＝＋＝＋′＝＋(′－)＝＋′＝(＋)＋′＝a＋b＋c.

反思感悟用基底表示空間向量的解題策略

1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.

2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.

3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.

例2.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且

(1)證明:EF⊥B1C;

(2)求EF與C1G所成角的余弦值.

思路分析選擇一個空間基底,將用基向量表示.(1)證明=0即可;(2)求夾角的余弦值即可.

(1)證明:設(shè)=i,=j,=k,

則{i,j,k}構(gòu)成空間的一個正交基底.

∴cos<>=

=.

延伸探究：設(shè)這個正方體中線段A1B的中點為M,證明:MF∥B1C.

解:設(shè)=i,=j,=k,

則=-i-k,

=-i-k=(-i-k)=,

所以MF∥B1C.

歸納總結(jié)：應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.

首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.

(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;

(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;

(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).

創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過平面向量基本定理類比空間向量基本定理

由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系。即空間向量是平面向量向空間的拓展，處理空間向量問題要轉(zhuǎn)化為平面向量解決。

通過定理證明與辨析，加深學(xué)生對定理的理解，讓學(xué)生感受空間向量和立體圖形間的聯(lián)系，體現(xiàn)空間向平面的轉(zhuǎn)化思想。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量基本定理在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會空間向量基本定理在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是( )

答案:C

解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.

2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點F是側(cè)面CC1D1D的中心,且+m-n,則m,n的值分別為( )

答案:A

解析:因為)=,所以m=,n=-.

3.下列說法正確的是( )

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底

B.空間的基底有且僅有一個

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底

D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等

答案:C

解析:A項中應(yīng)是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;

D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.

4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E為PD中點,若=a,=b,=c,則=.

答案:a-b+c

解析: )=(-b+)=-b+)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.

5.若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.

解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.

∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.

∴此方程組無解.

即不存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),

∴a+b,b+c,c+a不共面.

故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個基底.

6．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．

（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。