空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示
B.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
C.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用
D.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問(wèn)題

1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

2.邏輯推理：空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示及應(yīng)用；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題；

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問(wèn)題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡(jiǎn)單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系,對(duì)于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過(guò)數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….”

吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問(wèn)題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.

二、探究新知

一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示

1.空間直角坐標(biāo)系

在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底a,以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.

1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠xOy=135(或45),∠yOz=90.三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分.

2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.

2.點(diǎn)的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,且點(diǎn)A的位置由向量唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使=xi+yj+zk.在單位正交基底下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

3.向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z).

小試牛刀

1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個(gè)單位正交基底,則a的坐標(biāo)為 .

(3,2,-1)

答案:向量的坐標(biāo)恰好是終點(diǎn)P的坐標(biāo),這就實(shí)現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.

思考：在空間直角坐標(biāo)系中,向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系?

二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則

設(shè)向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),λ∈R,那么

(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃) ;(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃) ;(λa₁,λa₂,λa₃) ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

2.空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:

設(shè)A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂),則=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁).

即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).

3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),則

(1)當(dāng)b≠0時(shí),a∥b?a=λb? (λ∈R);

(2)a⊥b? ? .

a₁=λb₁,a₂=λb₂,a₃=λb₃ ;ab=0 ;a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

點(diǎn)睛：當(dāng)b的坐標(biāo)中b₁,b₂,b₃都不等于0時(shí),a與b平行的條件還可以表示為a∥b?

4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示

若向量a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃),則

(1)|a|== ;

(2)cos<a,b>== ;

(3)若P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂),則P₁,P₂兩點(diǎn)間的距離為||= .

小試牛刀

1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n= ?,3m-n= ?,(2m)(-3n)= .

(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168

解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),

(2m)(-3n)=(2,-6,10)(6,-6,12)=168.

2.已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ= ,若a⊥b,則 λ= .

4 ;-

解析:若a∥b,則有,解得λ=4.若a⊥b,則ab=2λ+8λ-λ+6=0,解得λ=-.

3.已知a=(-,2,),b=(3,6,0),則|a|=,a與b夾角的余弦值等于 .

答案:3

解析:|a|==3,a與b夾角的余弦值cos<a,b>=.

例1在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA₁=4,D為A₁B₁的中點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求的坐標(biāo).

思路分析先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量基本定理,將用基底表示,即得坐標(biāo).

解:由已知AO⊥OB,O₁O⊥OA,O₁O⊥OB,從而建立以方向上的單位向量i,j,k為正交基底的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖,則=4i,=2j,=4k,=-2i-j-4k,故的坐標(biāo)為(-2,-1,-4).

-()==-4i+2j-4k,

故的坐標(biāo)為(-4,2,-4).

即=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4).

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:

跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分別為D₁C₁,B₁C₁的中點(diǎn),若以{}為基底,則向量的坐標(biāo)為 ,向量的坐標(biāo)為 ,向量的坐標(biāo)為.

(1,1,1)

解析:因?yàn)?/span>,所以向量的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>,

所以向量的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>,所以向量的坐標(biāo)為(1,1,1).

例2已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).

(1)求-2;

(2)若點(diǎn)M滿足,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)若p=,q=,求(p+q)(p-q).

思路分析先由點(diǎn)的坐標(biāo)求出各個(gè)向量的坐標(biāo),再按照空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.

解:(1)因?yàn)?/span>A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以=(-3,5,-4),=(-1,0,9).

所以=(-4,5,5)，又=(-4,5,5),=(3,-5,4),

所以-2=(-10,15,-3)，又=(-3,5,-4),=(1,0,-9),

所以=-3+0+36=33.

(2)由(1)知,(-3,5,-4)+(1,0,-9)=,

若設(shè)M(x,y,z),則=(x-1,y+2,z-4),

于是解得故M.

(3)由(1)知,p==(-1,0,9),q==(-4,5,5).

(方法1)(p+q)(p-q)=|p|²-|q|²=82-66=16.

(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):

(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.

(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算:(a b)²=a²2ab+b²; (a+b)(a-b)=a²-b².

跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5).

(1)求頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo);

(2)求;

(3)若點(diǎn)P在AC上,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)設(shè)B(x,y,z),C(x₁,y₁,z₁),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x₁-x,y₁-y,z₁-z).

因?yàn)?/span>=(4,1,2),所以解得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,-4,5).

因?yàn)?/span>=(3,-2,5),所以解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9,-6,10).

(2)因?yàn)?/span>=(-7,1,-7),=(3,-2,5),所以=-21-2-35=-58.

(3)設(shè)P(x₂,y₂,z₂),則=(x₂-2,y₂+5,z₂-3),=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),于是有(x₂-2,y₂+5,z₂-3)=(9-x₂,-6-y₂,10-z₂),

所以解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

例3已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=,b=

(1)若|c|=3,c∥,求c;

(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.

思路分析(1)根據(jù)c∥,設(shè)c=λ,則向量c的坐標(biāo)可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;

(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來(lái),再根據(jù)數(shù)量積為0求解.

解:(1)∵=(-2,-1,2)且c∥,∴設(shè)c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).

∴|c|==3|λ|=3,解得λ=1.

∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).

(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).

∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)(ka-2b)=0,

即(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k²+k-10=0,解得k=2或k=-.

向量平行與垂直問(wèn)題主要題型

(1)平行與垂直的判斷;

(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問(wèn)題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).

(1)若a∥b,分別求λ與m的值;

(2)若|a|=,且與c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.

解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),

∴解得∴λ=,m=3.

(2)∵|a|=,且a⊥c,∴化簡(jiǎn),得解得λ=-1.因此,a=(0,1,-2).

例4如圖,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA₁=2,M,N分別是AA₁,CB₁的中點(diǎn).

(1)求BM,BN的長(zhǎng).

(2)求△BMN的面積.

思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點(diǎn)的坐標(biāo),從而得的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長(zhǎng)度.對(duì)于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計(jì)算.

解:以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

則B(0,1,0),M(1,0,1),N.

反思感悟向量夾角與模的計(jì)算方法

利用坐標(biāo)運(yùn)算解空間向量夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F分別為A₁D₁,BB₁的中點(diǎn),則cos∠EAF= ,EF= .

解析:以A為原點(diǎn),AB,AD,AA₁分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則

E,F,∴,

∴cos<>=,∴cos∠EAF=,EF=||=

一題多變——空間向量的平行與垂直

典例在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點(diǎn)E是棱D₁D的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為線段B₁D₁,BD上的點(diǎn),且3,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值.

解:如圖所示,以點(diǎn)D為原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),

E0,0,,B(1,1,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1),

由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1),

因?yàn)?/span>3,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),

所以3a-3=-a,解得a=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,1.

由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b,b,0),

因?yàn)?/span>PQ⊥AE,所以=0,所以(b-,b-,-1)(-1,0,)=0,

即-(b-)-=0,解得b=,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0),

因?yàn)?/span>=λ,所以(-1,-1,0)=λ(,0),所以=-1,故λ=-4.

延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B₁Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?

解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(c,c,0),因?yàn)?/span>B₁Q⊥EQ,所以=0,

所以(c-1,c-1,-1)c,c,-=0,即c(c-1)+c(c-1)+=0,4c²-4c+1=0,

解得c=,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,0,

所以點(diǎn)Q是線段BD的中點(diǎn),所以=-2,故λ=-2.

延伸探究2本例中若點(diǎn)G是A₁D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GH∥BD₁,試判斷點(diǎn)H的位置.

解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,因?yàn)辄c(diǎn)G是A₁D的中點(diǎn),所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為,0,,

因?yàn)辄c(diǎn)H在平面xOy上,設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m,n,0),

因?yàn)?/span>=m-,n,-,=(-1,-1,1),且GH∥,所以,解得m=1,n=.

所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為1,,0,所以點(diǎn)H為線段AB的中點(diǎn).

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問(wèn)題代數(shù)化的基本思想

由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問(wèn)題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系，類比平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算，從而學(xué)習(xí)空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算。

通過(guò)對(duì)空間向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)化的基本原理和方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。