教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？

二、探究新知

空間中直線、平面垂直的向量表示

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“”.

(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.( )

(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.( )

(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.( )

(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.( )

答案: (1) (2)√ (3) (4)√

2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=( )

A.2 B.-5 C.4 D.-2

答案:B

解析:因?yàn)棣痢挺?所以-2-8-2k=0,解得k=-5.

例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.

思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.

證明:(方法1)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F.

∵E在BC上,∴設(shè)E(m,1,0),∴=(m,1,-1),.

∵=0,∴PE⊥AF.

∴無論點(diǎn)E在邊BC上何處,總有PE⊥AF.

(方法2)因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上,可設(shè)=λ,

于是=())=+λ)()

=+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0,因此.

故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.

延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.

證明:同例題建系,易知=0,,=(a,0,0),因?yàn)?0,所以AF⊥BC.

利用向量方法證明線線垂直的方法

(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;

(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.

跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn).

求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.

(2)∵=(-1,-1,1),,∴=(-1)+(-1)+11=0,∴,∴BD1⊥EB1.

證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,B1(1,1,1).

(1)∵=(-1,-1,1),

=(-1,1,0),

∴=(-1)(-1)+(-1)1+10=0.

∴,∴BD1⊥AC.

例2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.

思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算證明與平面EFB1內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后說明與法向量共線,從而證得結(jié)論.

證明:(方法1)因?yàn)镋,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn),

所以,

而,

于是=()()

=0-0+0-0=0,因此.同理,

又因?yàn)椴还簿€,因此D1M⊥平面EFB1.

(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D1(0,0,1),M,

B1(1,1,1),E,F,于是,

因此=10+1(-1)=0,故;

又=1+10+(-1)=0,故.

又不共線,因此D1M⊥平面EFB1.

(方法3)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),M,B1(1,1,1),

E,F,于是,,

設(shè)平面EFB1的法向量為n=(x,y,z),

于是n⊥,n⊥,因此

取x=2,則y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),

而(2,2,-1),即n,

所以∥n,故D1M⊥平面EFB1.

利用空間向量證明線面垂直的方法

(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.

(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4 ,CD=2, AD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.

求證:BD⊥平面PAC.

證明:因?yàn)锳P⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B(4,0,0),P(0,0,4), D(0,2,0),C(2,2,0),

所以=(-4,2,0),

=(2,2,0),=(0,0,4).

所以=(-4)2+22+00=0,

=(-4)0+20+04=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.

因?yàn)锳P∩AC=A,AC?平面PAC,AP?平面PAC,

所以BD⊥平面PAC.

例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),

證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.

思路分析要證明兩個(gè)平面垂直,由兩個(gè)平面垂直的條件,可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量n1,n2,證明n1n2=0.

解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),

C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,,

則=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=-2,0,.

設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1).

則令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).

設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2).

令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).

∵n1n2=11+1(-1)+04=0,

∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.

利用空間向量證明面面垂直的方法

1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.

2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.

跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,

AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=

求證:平面AMD⊥平面CDE.

分析:因?yàn)镕A⊥平面ABCD,所以可以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)AB=1,依題意得A(0,0,0),M,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),則=(-1,0,1),=(0,2,0),可得=0,=0,因此CE⊥AM,CE⊥AD.

又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.

又CE?平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.

金題典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).

(1)求cos<>.

(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出||;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解:(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵AC=2a,∠ABC=90,∴AB=BC=a.

∴B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a),

A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),D,E,

=(a,-a,3a)

∴||=a,||=a,=0-a2+a2=a2.

∴cos<>=.

(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF.

不妨設(shè)AF=b,則F(a,0,b),=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),.

∵=a2-a2+0=0,∴恒成立.

由=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a,

∴當(dāng)||=a或||=2a時(shí),CF⊥平面B1DF.

應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題

立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個(gè):

(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;

(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn),根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.

類比直線、平面平行的向量表示，提出運(yùn)用向量解空間中的垂直問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，類比學(xué)習(xí)空間中的垂直問題，進(jìn)一步體會(huì)空間幾何問題代數(shù)化的基本思想

由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用空間向量解決空間中的垂直問題，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則( )

A.l?α B.l∥α C.l⊥α D.l與α相交

答案:C解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),∴a=-n,∴a∥n,∴l(xiāng)⊥α.故選C.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn),則( )

A.平面AED∥平面A1FD1

B.平面AED⊥平面A1FD1

C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直

D.以上都不對(duì)

答案:B 解析:以D為原點(diǎn), 分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因?yàn)閚1n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.

3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是 .

答案:l⊥β 解析:因?yàn)閍∥b,所以l⊥β.

4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,

∠BCD=90,∠ADB=30,E,F分別是AC,AD的中點(diǎn),

求證:平面BEF⊥平面ABC.

證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),

∵∠BCD=90,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.

又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.

∴為平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n=0,

即(x,y,z)=0.∴x=y.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。