兩條平行線間的距離教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

前面我們已經(jīng)得到了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，關(guān)于平面上的距離問(wèn)題，兩條直線間的距離也是值得研究的。

思考1：立定跳遠(yuǎn)測(cè)量的什么距離？

A.兩平行線的距離

B.點(diǎn)到直線的距離

C. 點(diǎn)到點(diǎn)的距離

二、探究新知

思考2：已知兩條平行直線的方程，如何求間的距離？

根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線上取任一點(diǎn)P,點(diǎn)P到直線的距離就是直線與直線間的距離，這樣求兩條平行線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離。

兩條平行直線間的距離

1. 定義：夾在兩平行線間的__________的長(zhǎng).

公垂線段

2. 圖示：

3. 求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

1．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是( )

A． B． C．2 D．

D [d＝＝.選D.]

三、典例解析

例1.求證兩條平行直線與間的距離為=

分析:兩條平行直線間的距離，即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點(diǎn)到另一條直線的距離

證明:在直線上任取一點(diǎn)P,點(diǎn)P到直線的距離，就是這兩條平行線間的距離即
=，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以=0,

即因此==

思考3：兩條平行直線間的距離公式寫成d＝時(shí)對(duì)兩條直線應(yīng)有什么要求？

[提示] 兩平行直線的方程都是一般式，且x、y的系數(shù)應(yīng)分別相等．

跟蹤訓(xùn)練1 兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行,則它們之間的距離為( )

解析:因?yàn)閮芍本€平行,所以m=2.

將6x+2y+1=0化為3x+y+=0,

由兩條平行線間的距離公式得d==,選D.

例2.已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程.

思路探究：由題設(shè)知l1∥l2，故l∥l1∥l2，設(shè)出l的方程，利用距離公式表示出d1，d2.進(jìn)而求出直線方程．

[解] 由直線l1，l2的方程知l1∥l2.又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)．

設(shè)直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行線間的距離公式，得d1＝，d2＝，

又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，

解得m＝－25或m＝－9.

故所求直線l的方程為3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.

求兩平行直線間距離的兩種思路

1?利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

2?直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

跟蹤訓(xùn)練2．直線l1過(guò)點(diǎn)A(0,1)，l2過(guò)點(diǎn)B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．

[解] 若直線l1，l2的斜率存在，設(shè)直線l1與l2的斜率為k，

由斜截式得l1的方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，

由點(diǎn)斜式可得l2的方程為y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直線l1

上取點(diǎn)A(0,1)，

則點(diǎn)A到直線l2的距離d＝＝5，

∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.

∴l(xiāng)1的方程為12x－5y＋5＝0，

l2的方程為12x－5y－60＝0.

若直線l1，l2的斜率不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝5，

它們之間的距離為5，滿足條件．

則滿足條件的直線方程有以下兩組：

l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；

l1：x＝0，l2：x＝5.

例3．兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.你能求出d的取值范圍嗎？

解析：如圖，顯然有0

而|AB|＝＝3.

故所求的d的變化范圍為(0,3]．

變式1．上述問(wèn)題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線的方程．

解析：由上圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與AB垂直．

而kAB＝＝，

∴所求直線的斜率為－3.

故所求的直線方程分別為

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類型

1?最值問(wèn)題.

①利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.

②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

③利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)配方求最值.

2?求參數(shù)問(wèn)題.

利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組求值.

3?求方程的問(wèn)題.

立足確定直線的幾何要素——點(diǎn)和方向，利用直線方程的各種形式，結(jié)合直線的位置關(guān)系?平行直線系、垂直直線系及過(guò)交點(diǎn)的直線系?，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.)

金題典例：已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．

思路探究：先求出正方形中心坐標(biāo)，利用正方形中心到四邊的距離相等及另外三邊與已知邊l平行或垂直求解．

[解] 設(shè)與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

由得正方形的中心坐標(biāo)為P(－1,0)，

由點(diǎn)P到兩直線l，l1的距離相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l(xiāng)1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另兩邊所在直線與l垂直，

∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四條邊的距離相等，

∴＝，得a＝9或a＝－3，

∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.

∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.

母題探究：1.求過(guò)本例中正方形中心且與原點(diǎn)距離最大的直線方程．

[解] 由例題知，正方形中心坐標(biāo)為P(－1,0)，則與OP垂直的直線到原點(diǎn)的距離最大．∵kOP＝0，∴此時(shí)所求直線方程為x＝－1.

2．本例中條件不變，你能求出正方形對(duì)角線所在直線方程嗎？

[解] 由可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，又正方形中心為P(－1,0)．

∴由兩點(diǎn)式方程得對(duì)角線方程為：＝，即2x＋y＋2＝0.

由可得正方形另一頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又正方形中心為P(－1,0)，

∴由兩點(diǎn)式得另一對(duì)角線方程為：＝，即x－2y＋1＝0.

綜上可知正方形的兩條對(duì)角線方程為x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.

通過(guò)生活中兩平行線間距離的問(wèn)題情境，引出在坐標(biāo)系下探究?jī)善叫芯€間距離公式的問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定解決問(wèn)題的策略。讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法。

通過(guò)兩平行線間距離公式的推導(dǎo)，體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習(xí)中熟悉公式的基本結(jié)構(gòu)，并體會(huì)點(diǎn)兩平行線間的距離公式的初步應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．平行直線l1：3x－y＝0與l2：3x－y＋＝0的距離等于( )

A．1 B．0 C． D．3

【答案】A [l1、l2的距離為d＝＝1.選A.]

2．分別過(guò)點(diǎn)A(－2,1)和點(diǎn)B(3，－5)的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是________．

【解析】 d＝|3－(－2)|＝5.【答案】 5

3.已知兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m＝________.

【答案】或－6 [由＝，

解得m＝或m＝－6.]

4．求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且與直線l距離為3的直線方程.

【解析】 ∵與l平行的直線方程為5x－12y＋b＝0，

根據(jù)兩平行直線間的距離公式得＝3，

解得b＝45或b＝－33.

∴所求直線方程為5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。