點到直線的距離公式教學設計

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?

二、探究新知

思考：最容易想到的方法是什么？

思路①. 定義法,其步驟為：①求l 的垂線l PQ的方程；② 解方程組；③得交點Q的坐標；④求|P Q|的長

反思：這種解法的優(yōu)缺點是什么？

我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點到直線的距離？

如圖，點P到直線l的距離，就是向量的模，設是直線l上的任意一點，是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量, =。

思考：如何利用直線l的方程得到與的方向向量垂直的單位向量？

設直線l：上的任意兩點，則是直線l的方向向量。把, 兩式相減，得 ，由平面向量的數(shù)量積運算可知，向量與向量垂直，向量就是與直線的方向向量垂直的一個單位向量的單位向量，我們取，

從而==

因為點在直線l上所以代入上式，

得=

因此=

思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉化為求兩點間的距離，通過代數(shù)運算得到結果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運算求出結果，簡化了運算，除了上述兩種方法，你還有其他推導方法嗎？

1.點到直線的距離

(1)定義:平面內點到直線的距離,等于過這個點作直線的垂線所得垂線段的長度.

(2)圖示:

(3)公式:d=.

點睛：(1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.

(2)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.

1.判斷對錯：點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為. ( )

答案:

2.點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是( )

答案:C

解析:由點到直線的距離公式可得.

3.你能說出代數(shù)式的幾何意義嗎?

提示:該代數(shù)式可表示平面內點(a,b)到直線x+y+1=0的距離.

三、典例解析

例1、求點P(3，－2)到下列直線的距離：

(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.

[解] (1)直線y＝x＋化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得

d＝＝.

(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.

(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.

應用點到直線的距離公式應注意的三個問題

(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式．

(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用．

(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數(shù)形結合求解．

跟蹤訓練1 已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,

求直線l的方程.

解:(方法一)當過點M(-1,2)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,

恰好A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,

故x=-1滿足題意;

當過點M(-1,2)的直線l的斜率存在時,

設l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,

由A(2,3)與B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,得

即x+3y-5=0.

綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.

,解得k=-,

此時l的方程為y-2=-(x+1),

(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點.

當l∥AB時,設直線AB的斜率為kAB,

即x+3y-5=0.

當l過AB的中點(-1,4)時,直線l的方程為x=-1.

綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.

直線l的斜率為kl,則kAB=kl==-

此時直線l的方程為y-2=-(x+1),

點睛：用待定系數(shù)法求直線方程時,首先考慮斜率不存在是否滿足題意.

延伸探究若將本題改為“已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),點A(2,3),B(-4,5)在l的同側且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為 .

解析:將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點在直線l異側的情況.

答案:x+3y-5=0

易錯點——因對斜率的情況考慮不全面而致錯

案例求經(jīng)過點P(-3,5),且與原點距離等于3的直線l的方程.

所以原點到該直線的距離d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故直線l的方程為-x-y+3+5=0,

錯解:設所求直線方程為y-5=k(x+3),

整理,得kx-y+3k+5=0.

錯因分析本題出錯的根本原因在于思維不嚴密,求直線的方程時直接設為點斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.

正解:當直線的斜率存在時,設所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.

即8x+15y-51=0.當直線的斜率不存在時,直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.

所以原點到該直線的距離d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故所求直線方程為y-5=-(x+3),

點睛:在根據(jù)距離確定直線方程時,易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯誤的方法是當用點斜式或斜截式表示直線方程時,應首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設條件,然后再求解.

通過生活中點到直線距離的問題情境，引出在坐標系下探究點到直線距離公式的問題，幫助學生學會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點到直線的距離公式，讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。

通過不同方法推導點到直線的距離公式，體會算法的多樣性，同時比較不同推導方法，比較算法的優(yōu)劣，優(yōu)化思維品質，發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

在典例分析和練習中熟悉公式的基本結構，并體會點到直線距離公式的初步應用。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.點(1,-1)到直線y=1的距離是( )

答案:D

2.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值等于( )

解析:由點到直線的距離公式可得,化簡得|3a+3|=|6a+4|,解得實數(shù)a=-或-.故選C.

答案:C

3.直線3x-4y-27=0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是 .

解析:由題意知過點P作直線3x-4y-27=0的垂線,

設垂足為M,則|MP|最小,

直線MP的方程為y-1=-(x-2),

解方程組

∴所求點的坐標為(5,-3).

答案:(5,-3)

4.已知△ABC三個頂點坐標A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.

【解析】由直線方程的兩點式得直線BC的方程為＝，

即x－2y＋3＝0，由兩點間距離公式得

|BC|＝，

點A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，

d＝，

所以S＝|BC|d＝2＝4，

即△ABC的面積為4.

5.已知直線l經(jīng)過點P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.

解:(方法一)∵點A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設為k.

又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.

由點A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,

∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.

得,解得k=0或k=1.

(方法二)當直線l過線段AB的中點時,A,B兩點到直線l的距離相等.

∵AB的中點是(-1,1),又直線l過點P(0,2),

∴直線l的方程是x-y+2=0.

當直線l∥AB時,A,B兩點到直線l的距離相等.

∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,

∴直線l的方程為y=2.

綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。