用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.

B.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.

C.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.

D.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.

1.數(shù)學(xué)抽象：直線的方向向量與平面的法向量

2.邏輯推理：直線、平面平行關(guān)系的判定；

3.數(shù)學(xué)運算：空間向量的坐標(biāo)運算解決直線、平面的平行關(guān)系.

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?

二、探究新知

一、空間中點、直線和平面的向量表示

1.點的位置向量

在空間中,我們?nèi)∫欢cO作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量來表示.我們把向量稱為點P的位置向量.如圖.

2.空間直線的向量表示式

如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設(shè)P是直線l上的任意一點,則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使得=ta,即=t.如圖②,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使+ta, ①

或+t. ②

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

1.下列說法中正確的是( )

A.直線的方向向量是唯一的

B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量

C.直線的方向向量有兩個

D.平面的法向量是唯一的

答案:B 解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.

3.空間平面的向量表示式

如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使+x+y.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

4.平面的法向量

如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a=0}.

點睛：空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.

2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是( )

答案:D 解析: =(2,-1,-3)=-3,故選D.

3.若兩個向量=(1,2,3),=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為( )

A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)

答案:A

解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).

二、空間中直線、平面平行的向量表示

點睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.

2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.

4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x= ,y= .

答案:-12；15

解析:因為兩條直線平行,所以a∥b.于是,解得x=-12,y=15.

5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是 .

答案:平行

解析:因為un=(-1,2,-3)(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.

例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.

思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.

解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),

E,B(1,1,0),于是

,=(1,1,0).

設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),

則n⊥,n⊥,于是

取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).

延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?

解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1n2=0,所以n1⊥n2.

利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟

(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).

(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組

(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.

1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

(1)求平面ABCD的一個法向量;

(2)求平面SAB的一個法向量;

(3)求平面SCD的一個法向量.

解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).

(1)∵SA⊥平面ABCD,

∴=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.

(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,

∴=,0,0是平面SAB的一個法向量.

(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).

設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,∴

得方程組

令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).

例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.

證明: (方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),=(-3,2,1),=(-3,2,1),

即PQ∥RS.

(方法2)

即RS∥PQ.

利用空間向量證明線與線平行的方法

要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.

證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方 體的棱長為1,

D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),

∴=(1,0,1),=(-1,1,0),設(shè)=(a,b,c),

取=(1,1,-1).易知=(-1,-1,1),∴=-,

∴,即PQ∥BD1.

例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.

思路分析思路一:可證明是共面向量;

思路二:可證明與平面A1BD中的是共線向量;思路三:可通過平面A1BD的法向量來證明.

證明:(方法1)∵

=,

∴是共面向量.

又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法2)∵

又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得

M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).

于是=(1,0,1),=(1,1,0).

設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),

則

取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).

∵n=(1,-1,-1)=0,∴⊥n.

又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

利用空間向量證明線面平行的方法

(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.

(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.

(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.

3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=, AF=1,M是線段EF的中點.

求證:AM∥平面BDE.

證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,則點N,E的坐標(biāo)分別是,(0,0,1).

所以.

又點A,M的坐標(biāo)分別是(,0),,

所以.

所以,且A?NE,所以NE∥AM.

又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.

例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?

思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.

解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,

則O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),則Q(0,1,m).

(方法1)因為=(-1,-1,1),所以,

于是OP∥BD1.

=(-1,0,m),

當(dāng)m=時,,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ,

故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.

(方法2).

設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),

則有n1⊥,n1⊥,因此

取x=1,則n1=(1,1,2).

又因為=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m).

設(shè)平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),

則有n2⊥,n2⊥,因此

取z=1,則n2=(m,1-m,1).

要使平面D1BQ∥平面PAO,需滿足n1∥n2,

因此,解得m=,這時Q.

故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.

利用空間向量證明面面平行的方法

(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;

(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.

4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.

求證:平面AMN∥平面EFBD.

證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),B(2,3,0),

M(1,0,4),N,E,F(1,3,4).

=(-1,0,4),=(-1,0,4).

∴.∴MN∥EF,AM∥BF.

∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.

又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.

金題典例：如圖,在正方體ABCD-ABCD中,求證:平面ABD∥平面BDC.

解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.

證明:(方法1) 設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,1),

于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),

設(shè)平面ABD的法向量為n1=(x1,y1,z1),

則n1⊥,n⊥,即

令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面ABD的一個法向量為n1=(-1,1,-1).

設(shè)平面BDC的法向量為n2=(x2,y2,z2).

則n2⊥,n2⊥,即

令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC的一個法向量為n2=(-1,1,-1).

所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面ABD∥平面BDC.

(方法2)由方法1知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),

所以,即AD∥BC,AB∥DC,

所以AD∥平面BDC,

AB∥平面BDC.又AD∩AB=A,

所以平面ABD∥平面BDC.

(方法3)同方法1得平面ABD的一個法向量為n1=(-1,1,-1).

易知=(1,1,0),=(0,1,1).

因為n1=(-1,1,-1)(1,1,0)=0,

n1=(-1,1,-1)(0,1,1)=0,

所以n1也是平面BDC的一個法向量,

所以平面ABD∥平面BDC.

點睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.

創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，并提出運用空間向量解法立體幾何的問題，實現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想

由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到空間向量語言與立體幾何的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會空間向量坐標(biāo)運算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則( )

A.l1∥l2 B.l1⊥l2

C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定

答案:A 解析:因為,所以a∥b.又直線l1,l2不重合,所以l1,l2平行.

2.已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB( )

A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行

C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交

答案:B 解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.

3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是( )

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

答案:D 解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項符合.

4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為,則m= .

答案:-8 解析:設(shè)a=(2,m,1),b=.因為l∥α,所以a⊥b.于是2+m+2=0,則m=-8.

5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點, 求證:(1)FC1∥平面ADE;

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),

所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).

(1)(方法1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1⊥,n1⊥,

即得令z1=2,則y1=-1,

所以n1=(0,-1,2).因為n1=-2+2=0,所以⊥n1.

又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(方法2)設(shè)=λ+μ,則(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),

所以解得=0,所以是共面向量.又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(2)=(2,0,0).

設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥,n2⊥,

得

令z2=2,則y2=-1,所以n2=(0,-1,2).

因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。