二次函數與一元二次方程、不等式教學設計（2）

三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式是高中數學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法。

課程目標

1. 通過探索，使學生理解二次函數與一元二次方程，一元二次不等式之間的聯(lián)系。

2. 使學生能夠運用二次函數及其圖像，性質解決實際問題．

3. 滲透數形結合思想，進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力。

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：一元二次函數與一元二次方程，一元二次不等式之間的聯(lián)系；

2.邏輯推理：一元二次不等式恒成立問題；

3.數學運算：解一元二次不等式；

4.數據分析：一元二次不等式解決實際問題；

5.數學建模：運用數形結合的思想，逐步滲透一元二次函數與一元二次方程，一元二次不等式之間的聯(lián)系。

重點：一元二次函數與一元二次方程的關系，利用二次函數圖像求一元二次方程的實數根和不等式的解集;

難點：一元二次方程根的情況與二次函數圖像與x軸位置關系的聯(lián)系，數形結合思想的運用．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

在初中，我們從一次函數的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發(fā)現了三者之間的內在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以更好地解決相關問題.類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次方程和一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本50-52頁，思考并完成以下問題

1. 二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系.

2.解一元二次不等方的步驟？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.一元二次不等式與相應的一元二次函數及一元二 次方程的關系如下表：

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法.

(1)解ax2+bx+c=0；

(2)判斷開口方向；

(3)根據開口方向和兩根畫草圖；

(4)不等式>0，看草圖上方，寫對應x的結果；

不等式<0，看草圖下方，寫對應x的結果.

四、典例分析、舉一反三

題型一 解不等式

例1求下列不等式的解集

（1）

（2）

（3）

【答案】（1） （2） （3）

解題方法（解不等式）

(1)解ax2+bx+c=0；

(2)判斷開口方向；

(3)根據開口方向和兩根畫草圖；

(4)不等式>0，看草圖上方，寫對應x的結果；

不等式<0，看草圖下方，寫對應x的結果；

跟蹤訓練一

1、求下列不等式的解集

（1）；

（2）；

（3）

（4）

【答案】（1） （2）

（3） （4）

題型二 一元二次不等式恒成立問題

例2 (1).如果方程的兩根為和3且，那么不等式的解集為____________．

(2).已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】（1） （2）A

【解析】（1）由韋達定理得，，代入不等式，

得，，消去得，解該不等式得，

因此，不等式的解集為，

故答案為： .

（2）當時，不等式為恒成立，符合題意；

當時，若不等式對任意恒成立，

則，解得；

當時，不等式不能對任意恒成立。

綜上，的取值范圍是 .

解題方法（一元二次不等式恒成立問題）

1、恒大于零就是相應的二次函數的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于零就是相應的二次函數的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方，從而確定的取值范圍，進而求參數. （若二次項系數帶參數，考慮參數等于零、不等于零）

2、解決恒成立問題，一定要搞清誰是主元，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數.

跟蹤訓練二

1．已知不等式的解集為或，則實數 __________.

2.對任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是____．

【答案】1、6 2、

【解析】1、由題意可知，3為方程的兩根，

則，即 .故答案為：6

2、①當，即時，不等式為：，恒成立，則滿足題意

②當，即時，不等式恒成立則需：

，解得：

綜上所述：

題型三 一元二次不等式的實際應用問題

例3一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水生產的摩托車數量x（單位：輛）與創(chuàng)造的價值y（單位：元）之間有如下的關系：

若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產多少輛摩托車？

【答案】見解析

【解析】設這家工廠在一個星期內大約應該利用這條流水線生產x輛摩托車，根據題意，得

移項整理，得.

對于方程，=100>0，方程有兩個實數根=50，=60.

畫出二次函數y=的圖像，結合圖象得不等式的解集為{x|50

{x|50

因為x只能取整數值，所以當這條流水線在一周內生產的摩托車數量在51~59輛時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益.

解題方法（一元二次不等式實際應用問題）

（1）根據題意列出相應的一元二次函數；

（2）由題意列出相應一元二次不等式；