對數(shù)函數(shù)的圖像和性質教學設計（2）

本節(jié)課在已學對數(shù)函數(shù)的概念，接著研究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質，從而深化學生對對數(shù)函數(shù)的理解，并且了解較為全面的研究函數(shù)的方法，為以后在研究函數(shù)增長類型打下基礎。另外，我們日常生活中的很多方面都涉及到了對數(shù)函數(shù)的知識，例如溶液酸堿度的測量，所以學習這一節(jié)具有很大的現(xiàn)實價值。

課程目標

1、掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，培養(yǎng)學生實際應用函數(shù)的能力；

2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結對數(shù)函數(shù)的性質；

3、在對數(shù)函數(shù)的學習過程中,體驗數(shù)學的科學價值并養(yǎng)成勇于探索的良好習慣.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質；

2.邏輯推理：圖像平移問題；

3.數(shù)學運算：求函數(shù)的定義域與值域；

4.數(shù)據分析：利用對數(shù)函數(shù)的性質比較兩個函數(shù)值的大小及解對數(shù)不等式；

5.數(shù)學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結合思想總結指數(shù)函數(shù)性質.

重點：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質；

難點：對底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納對數(shù)函數(shù)的性質．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

請學生用三點畫圖法畫圖像，觀察兩個函數(shù)圖像猜測對數(shù)函數(shù)有哪些性質？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本132-133頁，思考并完成以下問題

1. 對數(shù)函數(shù)的圖象是什么，通過圖象可觀察到對數(shù)函數(shù)具有哪些性質？

2. 反函數(shù)的概念是什么？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．對數(shù)函數(shù)的圖象及性質

[點睛] 底數(shù)a與1的大小關系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當a＞1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．

2．反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)．

四、典例分析、舉一反三

題型一 對數(shù)函數(shù)的圖象

例1 函數(shù)y=log2x,y=log5x,y=lgx的圖象如圖所示.

(1)說明哪個函數(shù)對應于哪個圖象,并說明理由;

(2)在如圖的平面直角坐標系中分別畫出y=lox,y=lox,y=lox的圖象;

(3)從(2)的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么?

【答案】見解析

【解析】(1)①對應函數(shù)y=lg x,②對應函數(shù)y=log5x,③對應函數(shù)y=log2x.這是因為當?shù)讛?shù)全大于1時,在x=1的右側,底數(shù)越大的函數(shù)圖象越靠近x軸.

(2)在題圖中的平面直角坐標系中分別畫出y=lox,y=lox,y=lox的圖象如圖所示.

(3)從(2)的圖中可以發(fā)現(xiàn):y=lg x與y=lox,y=log5x與y=lox,y=log2x與y=lox的圖象分別關于x軸對稱.

解題技巧：（對數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律）

1.對于幾個底數(shù)都大于1的對數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越接近x軸;對于幾個底數(shù)都大于0且小于1的對數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越遠離x軸.以上規(guī)律可總結成x>1時“底大圖低”.實際上,作出直線y=1,它與各圖象交點的橫坐標即為各函數(shù)的底數(shù)的大小,如圖所示.

2.牢記特殊點:對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象經過(1,0),(a,1),.

跟蹤訓練一

1、作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調區(qū)間.

【答案】其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調遞減區(qū)間為(1,2],單調遞增區(qū)間為(2,+∞).

【解析】先畫出函數(shù)y=lg x的圖象(如圖①).

再將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).

最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).

由圖易知其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調遞減區(qū)間為(1,2],單調遞增區(qū)間為(2,+∞).

題型二 比較對數(shù)值的大小

例2比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

(1)log23.4，log28.5；

(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

【答案】(1) log23.4＜log28.5(2) log0.31.8＞log0.32.7 （3）當a＞1時，loga5.1＜loga5.9；當0＜a＜1時，loga5.1＞loga5.9.

【解析】(1)考察對數(shù)函數(shù)y＝log2x，因為它的底數(shù)2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函數(shù)，于是log23.4＜log28.5.

(2)考察對數(shù)函數(shù)y＝log0.3x，因為它的底數(shù)0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是log0.31.8＞log0.32.7.

(3)當a＞1時，y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，于是loga5.1＜loga5.9；

當0＜a＜1時，y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是loga5.1＞loga5.9.

解題技巧：（比較對數(shù)值大小時常用的4種方法）

(1)同底的利用對數(shù)函數(shù)的單調性．

(2) 同真的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉化．

(3) 底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．

(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調性的影響，對底數(shù)進行分類討論．

跟蹤訓練二

1．比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

(1)lg6，lg 8； (2)log0.56，log0.54；

(3)log2與log2; (4)log23與log54.

【答案】（1）lg6＜lg8（2）log0.56＜log 0.54（3）log2

【解析】(1)因為函數(shù)y＝lg x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.

(2)因為函數(shù)y＝log0.5x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.

(3)由于log2＝，log2＝.

又∵對數(shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且＞，

∴0＞log2 ＞log2 ，∴＜.

∴l(xiāng)og2

(4)取中間值1，

∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴l(xiāng)og23＞log54.

題型三 比較對數(shù)值的大小

例3(1)已知loga＞1，求a的取值范圍；

(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范圍．

【答案】(1)； (2) (1，＋∞).

【解析】(1)由loga＞1得loga＞logaa.

①當a＞1時，有a＜，此時無解．

②當0＜a＜1時，有＜a，從而＜a＜1.

∴a的取值范圍是.

(2)∵函數(shù)y＝log 0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)

得解得x＞1.

∴x的取值范圍是(1，＋∞)．

解題技巧：（常見對數(shù)不等式的2種解法）

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．

(2)形如logax＞b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調性求解.

跟蹤訓練三

1．已知loga(3a－1)恒為正，求a的取值范圍．

【答案】∪(1，＋∞)

【解析】由題意知loga(3a－1)＞0＝loga1.

當a＞1時，y＝logax是增函數(shù)，

∴解得a＞，∴a＞1；

當0＜a＜1時，y＝logax是減函數(shù)，

∴解得＜a＜.∴＜a＜.

綜上所述，a的取值范圍是∪(1，＋∞).

題型四 有關對數(shù)型函數(shù)的值域與最值問題

例4求下列函數(shù)的值域．

(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．

【答案】(1) [2，＋∞)；(2)[－2，＋∞)．