二次函數(shù)與一元二次方程教案

1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；(重點(diǎn))

2．理解二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根；(重點(diǎn))

3．通過觀察二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖所示．現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離OC＝2.4m.當(dāng)水位上升一定高度到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，這時(shí)，離水面距離CF＝1.5m，則涵洞寬ED是多少？是否會(huì)超過1m?

根據(jù)已知條件，要求ED寬，只要求出FD的長度．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，只要求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即可．

由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，又因?yàn)辄c(diǎn)D在涵洞所成的拋物線上，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．你會(huì)求嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程

【類型一】求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6，它的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．

解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，設(shè)2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，(－1，0)．故答案為(3，0)，(－1，0)．

方法總結(jié)：拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是二次函數(shù)為0時(shí)，一元二次方程的解．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型二】判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．

(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．

解析：(1)只需證明Δ＝(m＋2)2－4m2≥0即可；(2)利用因式分解法求得拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)x的值來求正整數(shù)m的值．

(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝.當(dāng)m為正整數(shù)1或2時(shí)，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)．所以正整數(shù)m的值為1或2.

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是明確當(dāng)根的判別式Δ≥0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型三】已知拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求字母系數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍．

解析：應(yīng)分k－3＝0和k－3≠0兩種情況進(jìn)行討論，(1)當(dāng)k－3＝0即k＝3時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)；(2)當(dāng)k－3≠0，即k≠3時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范圍即可．

解：當(dāng)k＝3時(shí)，函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)．∵一次函數(shù)y＝2x＋1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，∴k＝3；

當(dāng)k≠3時(shí)，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函數(shù)．∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.

綜上所述，k的取值范圍是k≤4.

方法總結(jié)：由于k的取值范圍不能確定，所以解決本題的關(guān)鍵是要注意分類討論，不要漏解．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

【類型四】二次函數(shù)與一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合

已知：拋物線y＝x2＋ax＋a－2.

(1)求證：不論a取何值時(shí)，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值．

解析：(1)利用關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判別式的符號(hào)進(jìn)行證明；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1、x2的平方和是x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．

(1)證明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不論a取何值時(shí)，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.

方法總結(jié)：判斷一元二次方程與x軸的交點(diǎn)，只要看根的判別式的符號(hào)即可，而要判斷一元二次方程根的情況，要利用根與系數(shù)關(guān)系．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

探究點(diǎn)二：利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中的拋物線問題

如圖，足球場(chǎng)上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．

(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式；

(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米(取4＝7)?

(3)運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米(取2＝5)?

解析：要求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式，則需要根據(jù)已知條件確定點(diǎn)A和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，因?yàn)镺A＝1，OB＝6，BM＝4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(6，4)．根據(jù)頂點(diǎn)式可求得拋物線關(guān)系式．因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y＝0代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得OC的長．要計(jì)算運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米，實(shí)際就是求DB的長．求解的方法有多種．

解：(1)設(shè)第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－6)2＋4，

由已知：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.

所以函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；

(2)令y＝0，則－(x－6)2＋4＝0，

所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．

所以足球第一次落地距守門員約13米；

(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個(gè)單位)．