二次函數(shù)教案

1．理解、掌握二次函數(shù)的概念和一般形式；(重點)

2．會利用二次函數(shù)的概念解決問題；(重點)

3．列二次函數(shù)表達式解決實際問題．(難點)

一、情境導入

已知長方形窗戶的周長為6m，窗戶面積為y m2，窗戶寬為x m，你能寫出y與x之間的函數(shù)關系式嗎？它是什么函數(shù)呢？

二、合作探究

探究點一：二次函數(shù)的概念

【類型一】二次函數(shù)的識別

下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()

①y＝x＋；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝＋x.

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

解析：①y＝x＋，④y＝＋x的右邊不是整式，故①④不是二次函數(shù)；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函數(shù)的定義；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函數(shù)的定義．故選C.

方法總結：判定一個函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個標準：①所表示的函數(shù)關系式為整式；②所表示的函數(shù)關系式有唯一的自變量；③所含自變量的關系式最高次數(shù)為2，且函數(shù)關系式中二次項系數(shù)不等于0.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

【類型二】利用二次函數(shù)的概念求字母的值

當k為何值時，函數(shù)y＝(k－1)xk2＋k＋1為二次函數(shù)？

解析：根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得k2＋k＝2且同時滿足k－1≠0即可解答．

解：∵函數(shù)y＝(k－1)xk2＋k＋1為二次函數(shù)，∴解得∴k＝－2.

方法總結：解答本題要考慮兩方面：一是x的指數(shù)等于2；二是二次項系數(shù)不等于0.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題

【類型三】二次函數(shù)相關量的計算

已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3，當x＝2時，y＝3.則x＝1時，y＝________．

解析：∵二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3，當x＝2時，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2. ∴這個二次函數(shù)的表達式是y＝－x2＋2x＋3.將x＝1代入得y＝4.故答案為4.

方法總結：解題的關鍵是先確定解析式，再代入求值．

【類型四】二次函數(shù)與一次函數(shù)的關系

已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.

(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；

(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應怎樣？

解析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答．

解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴當m＝0時，這個函數(shù)是一次函數(shù)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴當m≠0或m≠1時，這個函數(shù)是二次函數(shù)．

方法總結：熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項的系數(shù)不等于零．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

探究點二：從實際問題中抽象出二次函數(shù)解析式

【類型一】從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式

如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB邊長為x米，則菜園的面積y(單位：米2)與x(單位：米)的函數(shù)關系式為多少？

解析：根據(jù)已知由AB邊長為x米可以推出BC＝(30－x)，然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關系式．

解：∵AB邊長為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，∴BC＝(30－x)，∴菜園的面積＝ABBC＝(30－x)x，則菜園的面積y與x的函數(shù)關系式為y＝－x2＋15x.

方法總結：函數(shù)與幾何知識的綜合問題，關鍵是掌握數(shù)與形的轉化．有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第10題

【類型二】從生活實際中抽象出二次函數(shù)解析式

某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產品一天能生產95件，每件利潤6元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件．

(1)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元(其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10)，求出y關于x的函數(shù)關系式；

(2)若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次．

解析：(1)每件的利潤為6＋2(x－1)，生產件數(shù)為95－5(x－1)，則y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由題意可令y＝1120，求出x的實際值即可．

解：(1)∵第一檔次的產品一天能生產95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤加2元，但一天產量減少5件，∴第x檔次，提高的檔次是(x－1)檔，利潤增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整數(shù)，且1≤x≤10)；

(2)由題意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．

所以，該產品的質量檔次為第6檔．