第一章角形的邊角關(guān)系教案

一、本章知識(shí)要點(diǎn)：

1、銳角三角函數(shù)的概念；

2、解直角三角形。

二、本章教材分析：

（一）.使學(xué)生正確理解和掌握三角函數(shù)的定義，才能正確理解和掌握直角三角形中邊與角的相互關(guān)系，進(jìn)而才能利用直角三角形的邊與角的相互關(guān)系去解直角三角形，因此三角形函數(shù)定義既是本章的重點(diǎn)又是理解本章知識(shí)的關(guān)鍵,而且也是本章知識(shí)的難點(diǎn)。如何解決這一關(guān)鍵問(wèn)題，教材采取了以下的教學(xué)步驟：

1. 從實(shí)際中提出問(wèn)題，如修建揚(yáng)水站的實(shí)例，這一實(shí)例可歸結(jié)為已知RtΔ的一個(gè)銳角和斜邊求已知角的對(duì)邊的問(wèn)題。顯然用勾股定理和直角三角形兩個(gè)銳角互余中的邊與邊或角與角的關(guān)系無(wú)法解出了，因此需要進(jìn)一步來(lái)研究直角三角形中邊與角的相互關(guān)系。

2. 教材又采取了從特殊到一般的研究方法利用學(xué)生的舊知識(shí)，以含30、45的直角三角形為例：揭示了直角三角形中一個(gè)銳角確定為30時(shí)，那么這角的對(duì)邊與斜邊之比就確定比值為1：2，接著以等腰直角三角形為例，說(shuō)明當(dāng)一個(gè)銳角確定為45時(shí)，其對(duì)邊與斜邊之比就確定為,同時(shí)也說(shuō)明了銳角的度數(shù)變化了,由30變?yōu)?5后,其對(duì)邊與斜邊的比值也隨之變化了,由到。這樣就突出了直角三角形中邊與角之間的相互關(guān)系。

3. 從特殊角的例子得到的結(jié)論是否也適用于一般角度的情況呢？教材中應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)證明了:當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角取任意一個(gè)固定值時(shí)，那么這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比的值仍是一個(gè)固定的值，從而得出了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，同理也可得出正切、余切函數(shù)的定義。

4. 在最開(kāi)始給出三角函數(shù)符號(hào)時(shí)，應(yīng)該把正確的讀法和寫法加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握。同時(shí)要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)是比值。防止學(xué)生產(chǎn)生sinX=60,sinX=等錯(cuò)誤，要講清sinA不是sin*A而是一個(gè)整體。如果學(xué)生產(chǎn)生類似的錯(cuò)誤，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重新復(fù)習(xí)三角函數(shù)定義。

5. 在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生對(duì)特殊角的函數(shù)值要記準(zhǔn)、記牢,再通過(guò)有關(guān)的練習(xí)加以鞏固。在解三角形的過(guò)程中，需要會(huì)求一般銳角的三角函數(shù)值，并會(huì)由已知的三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的角度。為此，教材中安排介紹了查三角函數(shù)表的方法，學(xué)生在查表過(guò)程中容易出錯(cuò)，尤其是在查余弦、余切表時(shí)，特別是在查表前，應(yīng)適當(dāng)講一下銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律。

6. 從定義總結(jié)同角三角函數(shù)關(guān)系式：在學(xué)生熟練掌握定義的基礎(chǔ)上，師生共同來(lái)發(fā)現(xiàn)如下的同角三角函數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的習(xí)慣和能力。

例如：

sinA=sinB=

cosA=cosB=

tanA= tanB=

cotA=cotB=

有哪些函數(shù)的值相等呢？如下：

sinA=cosB

∵∠A+∠B=90 cos(90-B)=sinB

∠A=90-∠B tan(90-B)=cotB

∴sin(90-∠B)=cosB cot(90-B)=tanB

關(guān)于∠A可由學(xué)生自己推出。

又有: tanAcotA= tanA= cotA=

∵ sinA=

cosA=

∴

四個(gè)三角函數(shù)的基本性質(zhì)：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和查三角函數(shù)可以得出：

①正弦、正切的函數(shù)值是隨著角度的增大而增大，正弦函數(shù)（在090）

sin0=0, sin90=1,正切函數(shù)(在090)tan0, tan90不存在。

②余弦、余切的函數(shù)值是隨角度的增大而減小，余弦函數(shù)(090) cos0=1,

cos90=0，cos0不存在，cot90=1.

為了鞏固這一部分知識(shí)，應(yīng)該通過(guò)一些基本練習(xí)題使學(xué)生達(dá)到熟練掌握的目的。

練習(xí)題如下：

填空：（1）知：α+β=90，sinα= 則 cosβ=——.

（2） 已知：sin27=a,則cos63=___.

（3） 已知：tan42=c, 則cot48=__.

（4） 計(jì)算： tan48+——.

（5） 已知A為銳角，化簡(jiǎn)：——.

（6） 已知O<α<45，化簡(jiǎn)= ——.

（7） 化簡(jiǎn)：= ——.

（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 則銳角α與β之間的關(guān)系是__。

（9） 在ΔABC中，∠C=90，如果45

（10） 已知ΔABC中∠C=90，0<∠B<45，那么(sin A–cos A)與 (sin B-cos B)中是正數(shù)的是 。

（11）ΔABC中，∠C=90，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，當(dāng)b=10時(shí),sinA=m(m為常數(shù)),當(dāng)b=100時(shí),a、b、c各擴(kuò)大10倍， sinA=___.

（12）ΔABC中,∠B=30，∠C=45,AB=8cm,則AC=___,

判斷下列各題是否正確（α角為銳角）

（1）sinα=cos42,則α=42 （ ）

（2）cotα=tan17，則α=83 （ ）

（3）cos(90-α)=sin36,α=36 ( )

（4）tan(90-α)=cot53,α=37 ( )

（5）sin40+sin30=sin70 ( )

（6） ( )

不查表判斷下列各式的正負(fù)：

(1)cot75 ( ) (2)cos42-cos46( )

(3)cos46-cos47 ( )(4)tan75-cot14 ( )

(5)sin50-cos50 ( ) (6)tan50-sin50 ( )

（二）、解直角三角形

1、解直角三角形是本章重點(diǎn)，正確地選擇關(guān)系式，先將已知和未知聯(lián)系起來(lái)，然后進(jìn)行正確地計(jì)算是解直角三角形的關(guān)鍵。

2、解直角三角形的依據(jù)有如下公式：

① 三邊之間關(guān)系：

② 角之間關(guān)系： ∠A+∠B=90

③ 邊角之間關(guān)系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；

tanA=cotB=； cotA=tanB=。

3、直角三角形可解的條件：在兩個(gè)銳角和三邊這五個(gè)條件中，必須已知兩個(gè)獨(dú)立的條件且兩個(gè)條件中至少有一個(gè)條件是邊。根據(jù)可解的條件的分類，可有如下類型及其解法：

a已知兩邊：兩條直角邊（a , b ）解法：c=

tanA=求∠A

∠B=90-∠A

斜邊和一條直角邊( a, c ) 解法： b=

用sinA=求A

∠B=90-∠A

b一邊和一銳角 一條直角邊和銳角A:∠B=90-∠A

b=

c=

斜邊C和銳角A: ∠B=90-∠A

a=c sinA

b=

4、解直角三角形的應(yīng)用

（1）、解決實(shí)際中提出的問(wèn)題：如測(cè)量、航海、工程技術(shù)和物理學(xué)中的有關(guān)距離、高度、角度的計(jì)算，應(yīng)用中要根據(jù)題意，準(zhǔn)確畫出圖形，從圖中確定要解的直角三角形，解直角三角形時(shí)，充分使用原始數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式，使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確。

（2）、在解決實(shí)際問(wèn)題中，仰角俯角；坡度坡角水平距離，垂直距離等概念，一定要在弄清概念的含意的基礎(chǔ)上，辨別出圖中這些概念的位置。

（3）、如果圖中無(wú)直角三角形，可適當(dāng)?shù)刈鞔咕€，轉(zhuǎn)化為直角三角形，間接地解出。

（4）、在解一些較復(fù)雜圖形時(shí)，注意借助于幾何圖形的性質(zhì)，可使得問(wèn)題得到解決。

練習(xí)題如下：

1、填空：

（1）等腰三角形腰長(zhǎng)為10cm，頂角為120，則三角形底邊長(zhǎng)為，高為 ，面積為 。

（2）正三角形邊長(zhǎng)為2a，則一邊上的高線長(zhǎng)為 。

（3）正三角形一邊上中線長(zhǎng)為3，則邊長(zhǎng)為 。

（4） 正三角形一邊長(zhǎng)為6，則正三角形外接圓半徑R= 。

（5） RtΔABC中，∠C=90，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，a+c=4+，∠A=60，則R= ，C= 。

2、梯形的兩底邊分別為15cm，5cm，兩底角分別為60，30。求梯形的周長(zhǎng)。

3、如圖電視塔建立在20米高的小山頂上，從水面上一點(diǎn)D測(cè)得塔頂A的仰角為60，測(cè)得塔基B的仰角為30，求塔高AB。4、在ΔABC中，∠C=90，a=10，ΔABC的面積SΔ=，求角A及邊長(zhǎng)C。