確定二次函數(shù)的表達(dá)式教案

1．通過對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式的探究，掌握求表達(dá)式的方法；(重點(diǎn))

2．能靈活根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x擇表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

一副眼鏡鏡片的下半部分輪廓對(duì)應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖．AB∥x軸，AB＝4cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm.你能確定右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式

【類型一】已知頂點(diǎn)坐標(biāo)確定二次函數(shù)解析式

已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，－2)，且經(jīng)過點(diǎn)N(2，3)，求此二次函數(shù)的解析式．

解析：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，－2)，所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)2－2，把點(diǎn)N(2，3)代入解析式解答．

解：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，－2)，設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)2－2，把點(diǎn)N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函數(shù)的解析式為y＝5(x－1)2－2.

方法總結(jié)：若題目給出了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則采用頂點(diǎn)式求解簡(jiǎn)單．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題

【類型二】已知三個(gè)點(diǎn)確定二次函數(shù)解析式

已知：拋物線經(jīng)過A(－1，8)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解析：(1)設(shè)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，再把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可；(2)把(1)中的解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，根據(jù)題意得解得所以拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3；

(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型三】已知兩交點(diǎn)或一交點(diǎn)和對(duì)稱軸確定二次函數(shù)解析式

已知下列拋物線滿足以下條件，求各個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

(1)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)A(1，0)，B(0，－3)，且對(duì)稱軸是直線x＝2；

(2)拋物線與x軸交于(－2，0)，(4，0)兩點(diǎn)，且該拋物線的頂點(diǎn)為(1，－)．

解析：(1)可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－1)(x－3)，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；(2)可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x＋2)(x－4)，然后把點(diǎn)(1，－)代入求出a即可．

解：(1)∵對(duì)稱軸是直線x＝2，∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)．設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－1)(x－3)，把B(0，－3)代入得a(－1)(－3)＝－3，解得a＝－1，∴拋物線解析式為y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3；

(2)設(shè)拋物線解析式為y＝a(x＋2)(x－4)，把(1，－)代入得a(1＋2)(1－4)＝－，解得a＝，所以拋物線解析式為y＝(x＋2)(x－4)＝x2－x－4.

方法總結(jié)：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型四】二次函數(shù)解析式的綜合運(yùn)用

如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)A(－4，－3)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x＝－3，請(qǐng)解答下列問題：

(1)求拋物線的解析式；

(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．

解析：(1)把點(diǎn)A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根據(jù)對(duì)稱軸是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根據(jù)CD∥x軸，得出點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x＝－3對(duì)稱，根據(jù)點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，5)，求出△BCD中CD邊上的高，即可求出△BCD的面積．

解：(1)把點(diǎn)A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，∴c－4b＝－19.∵對(duì)稱軸是x＝－3，∴－＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的解析式是y＝x2＋6x＋5；

(2)∵CD∥x軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x＝－3對(duì)稱．∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－7，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6(－7)＋5＝12.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝87＝28.