等差數(shù)列的前n項和公式（2）教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項和的性質及應用.

B.會求等差數(shù)列前n項和的最值.

1.數(shù)學抽象：等差數(shù)列前n項和公式

2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)

3.數(shù)學運算：等差數(shù)列前n項的應用

4.數(shù)學建模：等差數(shù)列前n項的具體應用

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、課前小測

1．思考辨析

(1)若S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．( )

(2)若a₁>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項之和最大．( )

(3)在等差數(shù)列中，S_n是其前n項和，則有S_2n－1＝(2n－1)a_n.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

2．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12

B [∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項．]

3．等差數(shù)列{a_n}中，S₂＝4，S₄＝9，則S₆＝________.

15 [由S₂，S₄－S₂，S₆－S₄成等差數(shù)列得2(S₄－S₂)＝S₂＋(S₆－S₄)解得S₆＝15.]

4．已知數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n＝2n－48，則S_n取得最小值時，n為________.

23或24 [由a_n≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小，即n＝23或24.]

二、典例解析

例8.某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位. 問第1排應安排多少個座位？

分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構成數(shù)列{a_n} ，設數(shù)列{a_n} 的前項和為。由題意可知，{a_n}是等差數(shù)列，且公差及前20項和已知，所以可利用等差數(shù)列的前項和公式求首項。

解：設報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構成數(shù)列{a_n}，其前n項和為S_n.根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}是一個公差為2的等差數(shù)列，且S₂₀＝800.

因此，第1排應安排21個座位。

解得a₁＝21.

因此，第1排應安排21個座位.

1．本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．

2．遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：

(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．

(2)深入分析題意，確定是求通項公式a_n，或是求前n項和S_n，還是求項數(shù)n.

跟蹤訓練1. 某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？

分析：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構成一個等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內可完成第二道防線工程．

解:從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設為a₁，a₂，…，a₂₅.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a₁＝24，公差d＝－.

25輛翻斗車完成的工作量為：a₁＋a₂＋…＋a₂₅＝2524＋2512＝500，而需要完成的工作量為2420＝480.∵500>480，

∴在24小時內能構筑成第二道防線．

例9.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁＝10，公差d＝－2，S_n是否存在最大值？若存在，求S_n的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.

分析數(shù)項的和。

另一方面，等差數(shù)列的前n項和公式可寫成

，所以當時， 可以看成二次函數(shù)

，當= 時函數(shù)值。如圖，當時， 關于的圖像是一條開口向下的拋物線上的一些點，因此，可以利用二次函數(shù)求相應的, 的值。

解法1.由d＝－2，得a_n＋1－a_n＝－2＜0，得a_n＋1＜a_n ，所以{a_n}是遞減數(shù)列.由a₁＝10，d＝－2，

得a_n＝10＋(n－1)(－2) ＝－2n＋12.

可知，當n＜6時，a_n＞0；

當n＝6時，a_n＝0；

當n＞6時，a_n＜0.

所以, S₁＜S₂＜…＜S₅＝S₆＞ S₇＞…

也就是說，當n＝5或6時，S_n最大.

因為 =30

所以S_n的最大值為30.

解法2：因為由a₁＝10，d＝－2，

因為

所以，當n取與 最接近的整數(shù)，

即5或6時，S_n最大，最大值為30.

1.在等差數(shù)列中，求S_n的最小(大)值的方法：

(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)．

(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質求最值．

2．尋求正、負項分界點的方法：

(1)尋找正、負項的分界點來尋找．

(2)利用到y(tǒng)＝ax²＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應項即為正、負項的分界點．

跟蹤訓練2. 數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝33n－n²，

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)問{a_n}的前多少項和最大；

(3)設b_n＝|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n′.

分析：(1)利用S_n與a_n的關系求通項，也可由S_n的結構特征求a₁，d，從而求出通項．

(2)利用S_n的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解

(3)利用a_n判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負數(shù)，再求解，也可以利用S_n的函數(shù)特征判斷項的正負求解．

[解] (1)法一：(公式法)當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝34－2n，

又當n＝1時，a₁＝S₁＝32＝34－21滿足a_n＝34－2n.

故{a_n}的通項公式為a_n＝34－2n.

法二：(結構特征法)由S_n＝－n²＋33n知S_n是關于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以{a_n}是等差數(shù)列，由S_n的結構特征知

解得a₁＝32，d＝－2，所以a_n＝34－2n.

(2)法一：(公式法)令a_n≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，

故數(shù)列{a_n}的前17項大于或等于零．

又a₁₇＝0，故數(shù)列{a_n}的前16項或前17項的和最大．

法二：(函數(shù)性質法)由y＝－x²＋33x的對稱軸為x＝.

距離最近的整數(shù)為16,17.由S_n＝－n²＋33n的

圖象可知：當n≤17時，a_n≥0，當n≥18時，a_n<0，

故數(shù)列{a_n}的前16項或前17項的和最大．

(3)由(2)知，當n≤17時，a_n≥0；

當n≥18時，a_n<0.

所以當n≤17時，S_n′＝b₁＋b₂＋…＋b_n

＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝S_n＝33n－n².

當n≥18時，

S_n′＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₇|＋|a₁₈|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a₁₇－(a₁₈＋a₁₉＋…＋a_n)

＝S₁₇－(S_n－S₁₇)＝2S₁₇－S_n

＝n²－33n＋544.

故S_n′＝

通過課前檢測，檢測學生對知識的掌握情況。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過等差數(shù)列前項在實際問題中的應用。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列求和公式函數(shù)特征的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素。

通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列求和公式的綜合運用能力。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素

三、達標檢測

1．（多選題）已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，且S₆>S₇>S₅，有下列四個命題正確的是( )

A.d<0； B.S₁₁>0； C.S₁₂<0； D.數(shù)列{S_n}中的最大項為S₁₁

【答案】AB

解析∵S₆>S₇，∴a₇<0，∵S₇>S₅，∴a₆＋a₇>0，

∴a₆>0，∴d<0，A正確．又S₁₁＝(a₁＋a₁₁)＝11a₆>0，B正確．

S₁₂＝(a₁＋a₁₂)＝6(a₆＋a₇)>0，C不正確．{S_n}中最大項為S₆，D不正確．

故正確的是AB]

2．已知等差數(shù)列{a_n}中，|a₅|＝|a₉|，公差d>0，則使得前n項和S_n取得最小值的正整數(shù)n的值是________．

【答案】6或7

[由|a₅|＝|a₉|且d>0得a₅<0，a₉>0，且a₅＋a₉＝0?2a₁＋12d＝0?

a₁＋6d＝0，即a₇＝0，故S₆＝S₇且最?。甝

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和公式為S_n＝n²－30n.

(1)求數(shù)列 {a_n}的通項公式a_n；

(2)求S_n的最小值及對應的n值.

【答案】 (1)∵S_n＝n²－30n，

∴當n＝1時，a₁＝S₁＝－29.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－30n)－[(n－1)²－30(n－1)]＝2n－31.

∵n＝1也適合，

∴a_n＝2n－31，n∈N^*.

(2)法一：S_n＝n²－30n＝²－225

∴當n＝15時，S_n最小，且最小值為S₁₅＝－225.

法二：∵a_n＝2n－31，∴a₁2<…15<0，當n>15時，a_n>0.

∴當n＝15時，S_n最小，且最小值為S₁₅＝－225.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。