等差數(shù)列的概念（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解等差數(shù)列的概念

B.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用

C.掌握等差數(shù)列的判定方法

1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的概念

2.邏輯推理：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通項(xiàng)公式的應(yīng)用

4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列的應(yīng)用

重點(diǎn)：等差數(shù)列概念的理解、通項(xiàng)公式的應(yīng)用

難點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的判定

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、導(dǎo)語

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們?cè)诶斫饬撕瘮?shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手。

二、新知探究

1.北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形

的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到

外各圈的示板數(shù)依次為

9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①

2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上對(duì)應(yīng)的尺碼分別是

38,40,42,44,46,48 ②

3.測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位）依次為

25,24,23,22,21 ③

4.某人向銀行貸款萬元，貸款時(shí)間為年，如果個(gè)人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為④

在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

1．等差數(shù)列的概念

文字語言	如果一個(gè)數(shù)列從第_2_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示
符號(hào)語言	an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)

2．等差中項(xiàng)

(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．

(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．

(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.

1. 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)．

(1)如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．( )

(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．( )

(3)在等差數(shù)列中，除第1項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是它前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．( )

; ; √

問題探究

思考1：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？

設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得

當(dāng)n時(shí)，上式為+() ，這就是說,上式當(dāng)時(shí)也成立。

因此，首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為+()

思考2：教材上推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？

[提示] 還可以用累加法，過程如下：

∵a2－a1＝d，

a3－a2＝d，

a4－a3＝d，…

an－an－1＝d(n≥2)，

將上述(n－1)個(gè)式子相加得

an－a1＝(n－1)d(n≥2)，

∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，

∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．

從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，

則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；

(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d

2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)

(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列． ( )

(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān)． ( )

(3)若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．( )

解析： (1)錯(cuò)誤．若這些常數(shù)都相等，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；

若這些常數(shù)不全相等，則這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列．

(2)正確．當(dāng)d>0時(shí)為遞增數(shù)列；d＝0時(shí)為常數(shù)列；

d<0時(shí)為遞減數(shù)列．

(3)正確．若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，

故a，b，c為等差數(shù)列．

[答案] (1) (2)√ (3)√

3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝2，d＝6.5，則a7＝( )

A．22 B．24 C．26 D．28

D [a7＝a3＋4d＝2＋46.5＝28，故選D.]

4．如果三個(gè)數(shù)2a，3，a－6成等差數(shù)列，則a的值為( )

A．－1 B．1 C．3 D．4

D [由條件知2a＋(a－6)＝32，解得a＝4.故應(yīng)選D.]

三、典例解析

例1.（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為求公差和首項(xiàng)；

（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項(xiàng)。

分析（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由= ，即可求出公差，（2）可以先根據(jù)數(shù)列的兩個(gè)已知項(xiàng)求出通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求數(shù)列的第20項(xiàng)

解：（1）當(dāng)?shù)耐?xiàng)公式為，

可得

于是=()-()=2.

把代入通項(xiàng)公式，可得

（2）由已知條件，得

求通項(xiàng)公式的方法

(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項(xiàng)公式，這是求解這類問題的基本方法．

(2)已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，可用d＝直接求得公差，

再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項(xiàng)公式．

(3)抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．

跟蹤訓(xùn)練1．(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d.

(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

∵a5＝10，a12＝31，則

解得

∴這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1＝－2，公差d＝3.

(2) 法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，

則由題意得解得

故a75＝a1＋74d＝＋74＝24.

法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，

∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15＝24.

法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b.

由a15＝8，a60＝20得解得

∴a75＝75＋4＝24.

例2 (1)已知m和2n的等差中項(xiàng)是8，2m和n的等差中項(xiàng)是10，則m和n的等差中項(xiàng)是________．

(2)已知，，是等差數(shù)列，求證：，，也是等差數(shù)列．

[思路探究] (1)―→―→

(2)

(1)6 [由題意得

∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.]

(2)[證明] ∵，，成等差數(shù)列，

∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．

∵＋＝

＝＝＝＝，

∴，，成等差數(shù)列．

等差中項(xiàng)應(yīng)用策略

1.求兩個(gè)數(shù)x，y的等差中項(xiàng)，即根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得A＝.

2.證三項(xiàng)成等差數(shù)列，只需證中間一項(xiàng)為兩邊兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練2．在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)

成等差數(shù)列，求此數(shù)列．

[解] ∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，

∴b是－1與7的等差中項(xiàng)，

∴b＝＝3.

又a是－1與3的等差中項(xiàng)，

∴a＝＝1.

又c是3與7的等差中項(xiàng)，

∴c＝＝5.

∴該數(shù)列為：－1，1，3，5，7.

通過導(dǎo)語，通過對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生類比，展望數(shù)列學(xué)習(xí)的路線。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。