等差數(shù)列的概念（2）教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).

B.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.

C.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.

1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的性質(zhì)

2.邏輯推理：等差數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用

4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題

重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的推導(dǎo)

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、溫故知新

1．等差數(shù)列的概念

文字語言	如果一個(gè)數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的______的差都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示
符號(hào)語言	an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)

2 ;前一項(xiàng);同一個(gè)常數(shù);常數(shù);d

2．等差中項(xiàng)

(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．

(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．

(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；

4.通項(xiàng)公式的應(yīng)用；

二、典例解析

例3.某公司購置了一臺(tái)價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的范圍.

分析：該設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}為公差為－d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設(shè)備的價(jià)值不小于萬元；10年后，該設(shè)備的價(jià)值需小于11萬元．利用{an}的通項(xiàng)公式列不等式求解．

解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬元，則可得數(shù)列{an}．

由已知條件，得an＝an－1－d（n≥2）．

所以數(shù)列{an}是一個(gè)公差為－d的等差數(shù)列.

因?yàn)閍1＝220－d，

所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.

由題意，得a10≥11，a11＜11.

即：解得19

所以，d的求值范圍為19

等差數(shù)列在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實(shí)際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實(shí)際問題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一般過程.

跟蹤訓(xùn)練1. 孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國(guó)經(jīng)濟(jì)百強(qiáng)縣.經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動(dòng)了市民對(duì)住房的需求.假設(shè)該市2019年新建住房400萬平方米，預(yù)計(jì)在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在第（）年新建住房的面積開始大于820萬平方米？

A.2026 B. 2027 C. 2028 D.2029

C解：設(shè)從2019年開始，該市每年新建住房面積為萬平方米.

由題意可知是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1 =400 ，公差50

所以+() 50=50

令50 20，解得

由于

所以該市在2028年建住房面積開始大于820萬平方米.

例4. 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

(2) b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由.

分析：（1） {an}是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1 ，a2表示為{bn}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){an}中的第n項(xiàng)是{bn}中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項(xiàng).

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為

∵b1, b5, b5b1 =8

∵b5b1 , 8, ,

+() 2=2

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是=2

（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1,5,9,13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則=4 3

令4 3=29, 解得: =8

所以， b29是數(shù)列的第8項(xiàng)

對(duì)于第（2）小題，你還有其他解法嗎？

差數(shù)列的性質(zhì)

如果在一個(gè)等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入)個(gè)合適的數(shù)，

仍然可以構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.

例5. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，,且

求證:

分析：利用等差數(shù)列的中的兩個(gè)基本量,再根據(jù)等差數(shù)列的定義

寫出即可得證.

證明：設(shè)數(shù)列的公差為,則

例5 是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？

通過上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來解釋這一性質(zhì)嗎？

思路：

通過回顧等差數(shù)列的定義及其中項(xiàng)性質(zhì)，提出問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過實(shí)際問題的分析解決，體會(huì)等差數(shù)列的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，深化對(duì)等差數(shù)列的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為( )

A．20 B．30 C．40 D．50

【答案】C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，

∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，

∴a7＝20.

∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]

2．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4 km(不含4 km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車費(fèi)________元．

23.2 [根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi)．令a1＝11.2，表示4 km處的車費(fèi)，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)1.2＝23.2(元)．]

3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________.

【答案】18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.

又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.

故d＝＝＝.

∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)，∴k＝18.]

4．在首項(xiàng)為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對(duì)值最小的項(xiàng)是________.

【答案】－1 [可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝35－4n.

則當(dāng)n≤8時(shí)an>0；當(dāng)n≥9時(shí)an<0.

又a8＝3，a9＝－1.故絕對(duì)值最小的項(xiàng)為a9＝－1.]

5．已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù).

【答案】法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a，b，c(a

，解得