等比數(shù)列的前n項和公式(2)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及其應用．

B.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應的問題.

1.數(shù)學抽象：等比數(shù)列的前n項和公式

2.邏輯推理：等比數(shù)列的前n項和公式的運用

3.數(shù)學運算：等比數(shù)列的前n項和公式的運用

4.數(shù)學建模：運用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際問題

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、知識回顧

等比數(shù)列的前n項和公式

;; na₁

二、典例解析

例10. 如圖，正方形 的邊長為 ，取正方形 各邊的中點 作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形 ，依此方法一直繼續(xù)下去.

(1) 求從正方形 開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；

(2) 如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？

分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列。

解：設正方形的面積為，后續(xù)各正方形的面積依次為, ,…，則=25,

由于第個正方形的頂點分別是第個正方形各邊的中點，

所以=,

因此{}，是以25為首項，為公比的等比數(shù)列.

設{}的前項和為

所以，前10個正方形的面積之和為c.

(2)當無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和

隨著的無限增大，將趨近于0，將趨近于50.

所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.

典例解析

例11. 去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.

分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列。因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算。

解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列{}，年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為（單位：萬噸），則=20, =6+1.5

所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為 63.5萬噸.

解決數(shù)列應用題時

一是：明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題；

二是：明確是求a_n，還是求S_n.細胞繁殖、利率、增長率等問題一般為等比數(shù)列問題．

跟蹤訓練1. 某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元．由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增長.求n年內(nèi)的總投入與n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入．

解：由題意知第1年投入800萬元，

第2年投入800萬元，

……

第n年投入800^n－1萬元，

所以每年的投入資金數(shù)構(gòu)成首項為800，公比為的等比數(shù)列．

所以n年內(nèi)的總投入S_n＝800＋800＋…＋800^n－1＝4 000(萬元)．

由題意知，第1年旅游業(yè)的收入為400萬元，

第2年旅游業(yè)的收入為400萬元，

……

第n年旅游業(yè)的收入為400^n－1萬元，

所以每年的旅游業(yè)收入資金數(shù)構(gòu)成首項為400，

公比為的等比數(shù)列．

所以n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入

T_n＝400＋400＋…＋400^n－1＝1 600(萬元)．

故n年內(nèi)的總投入為4 000萬元，

n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入為1 600萬元．

例12. 某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8% ，且在每年年底賣出100頭牛。設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為

（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；

（2）將（1）中的遞推公式表示成 的形式，其中,為常數(shù)；

（3）求=的值（精確到1）.

分析：（1）可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立與的關(guān)系；（2）這是待定系數(shù)法的應用，可以將它還原為（1）中的遞推公式形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；（3）利用（2）的結(jié)論可得出解答。

解（1）由題意，得并且

（2）將化成

= ②

比較①②的系數(shù)，可得

解這個方程組，得

所以（1）中的遞推公式可以化為

（3）由（2）可知，數(shù)列{-1250}是以-50為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則

所以

以正方形面積求和問題為背景，引導學生運用等比數(shù)列求和知識解決問題。并體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，感悟函數(shù)思想。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

以生活中的垃圾處理為背景，引導學生運用等比數(shù)列求和知識解決實際問題。并掌握分組求和法。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

以牧場中牛的繁殖問題為背景，引導學生運用等比數(shù)列求和知識解決問題，并學會運用構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列解決問題。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．等比數(shù)列{a_n}的公比為q(q≠1)，則數(shù)列a₃，a₆，a₉，…，a_3n，…的前n項和為( )

A. B.

C. D.

【答案】C [等比數(shù)列中，序號成等差數(shù)列，則項仍成等比數(shù)列，則a₃，a₆，…，a_3n是等比數(shù)列，且首項為a₃，公比為＝q³，再用等比數(shù)列的前n項和公式求解，即S_n＝，故答案為C項．]

2．(2018全國卷Ⅰ)記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．若S_n＝2a_n＋1，則S₆＝________.

【答案】－63 [通解 因為S_n＝2a_n＋1，所以當n＝1時，a₁＝2a₁＋1，解得a₁＝－1；

當n＝2時，a₁＋a₂＝2a₂＋1，解得a₂＝－2；

當n＝3時，a₁＋a₂＋a₃＝2a₃＋1，解得a₃＝－4；

當n＝4時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝2a₄＋1，解得a₄＝－8；

當n＝5時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝2a₅＋1，解得a₅＝－16；

當n＝6時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＝2a₆＋1，解得a₆＝－32.

所以S₆＝－1－2－4－8－16－32＝－63.

優(yōu)解 因為S_n＝2a_n＋1，所以當n＝1時，a₁＝2a₁＋1，解得a₁＝－1，

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n＋1－(2a_n－1＋1)，所以a_n＝2a_n－1，所以數(shù)列{a_n}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a_n＝－2^n－1，所以S₆＝＝－63.]

3．數(shù)列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n項和為________.

【答案】n－1＋ [通項a_n＝＋＋…＋＝＝1－

∴前n項和S_n＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋.]

4. 為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計劃從2018年開始出口，當年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.

(1)以2018年為第一年，設第n年出口量為a_n噸，試求a_n的表達式；

(2)國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2018年最多出口多少噸？(0.9¹⁰≈0.35，保留一位小數(shù))

解：(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項a₁＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴a_n＝a0.9^n－1.

(2)10年的出口總量S₁₀＝＝10a(1－0.9¹⁰)．

∵S₁₀≤80，∴10a(1－0.9¹⁰)≤80，

即a≤，

∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3噸．

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。