等比數(shù)列的概念(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念

數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。

學(xué)生在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 理解等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念．

B．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題．

1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的定義

2.邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的運(yùn)用

4.數(shù)學(xué)建模：等比數(shù)列的函數(shù)特征

重點(diǎn)：等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念

難點(diǎn)：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運(yùn)用

多媒體

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、新知探究

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)” 。類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺(jué)得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:

2.《莊子天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之錘”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，每天得到的“錘”的長(zhǎng)度依次是

3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)菌每20 min 就通過(guò)分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開(kāi)始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是

2,4,8,16,32,64,…

4.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是

如果用 {an} 表示數(shù)列①，那么有

其余幾個(gè)數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？，請(qǐng)你試著寫一寫。

探究1 類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

等差數(shù)列的概念

文字語(yǔ)言	如果一個(gè)數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的______的差都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示
符號(hào)語(yǔ)言	an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)

2 ；前一項(xiàng)；同一個(gè)常數(shù)；常數(shù)；d

探究2 類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示(顯然)．符號(hào)語(yǔ)言：．

探究3：在等差數(shù)列中，我們學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng)的概念，通過(guò)類比，我們?cè)诘缺葦?shù)列中有什么相應(yīng)的概念？如何定義？

1．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是( )

A．m，m2，m3，m4，…

B．22,42,62,82，…

C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…

D．，，，，…

D 解析：當(dāng)m＝0，q＝1時(shí)，A，C均不是等比數(shù)列；≠，

所以B不是等比數(shù)列．

2．方程x2－5x＋4＝0的兩根的等比中項(xiàng)是( )

A． B．2 C． D．2

B 解析：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2＝4，∴兩根的等比中項(xiàng)為＝2.

探究3. 你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？

設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得=

所以=,=,=,…

于是+,

+=(+) ++ 2,

+=(+) ++ 3,……

歸納可得+()(n)

當(dāng)n時(shí)，上式為+()，這就是說(shuō),上式當(dāng)時(shí)也成立。

因此，首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為+()

請(qǐng)你回憶一下，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項(xiàng)公式？

設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的為,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得

所以,

=(),

=()

……

歸納可得(n)

又，這就是說(shuō)，當(dāng)n時(shí)，上式也成立。

因此，首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為

探究4.在等差數(shù)列中，公差的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系？

當(dāng),()

即指數(shù)型函數(shù)

（為,常數(shù)，,且）構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，

其首項(xiàng)為，公比為

探究5：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說(shuō)說(shuō)公比的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？

二、典例解析

例1.若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng).

分析：等比數(shù)列由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程（組），進(jìn)行求解。

解法1：由，，得

的兩邊分別除以①的兩邊，得解得或.

把代入①，得

此時(shí).

把代入①，得.

此時(shí).

因此的第5項(xiàng)是24或.

解法2：因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.

所以.

因此，的第5項(xiàng)是24或-24.

例2 已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示.

解：由題意，得，①

②的兩邊分別除以①的兩邊，得=

所以.

1．在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．

2．等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.

跟蹤訓(xùn)練1 在等比數(shù)列{an}中，

(1)若a2＝4，a5＝－，求an；

(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.

(1)由題意可知

∴q＝－，a1＝－8，

∴an＝a1qn－1＝－8n－1＝(－2)4－n.

(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，

∴q＝.

由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，

由an＝a1qn－1＝1知n＝6.

例3. 數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132，求這個(gè)數(shù)列.

分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列出方程組求解.

解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為,后三項(xiàng)的公差為，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為,80,80, 80,

于是得

解方程組，得

所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.

跟蹤訓(xùn)練2.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù).

解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為,

于是得解方程組，得

所以當(dāng)a＝4，d＝4時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；

當(dāng)a＝9，d＝－6時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為,

于是得解方程組，得

所以當(dāng)a＝8，q＝2時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；

當(dāng)a＝3，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.

故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

通過(guò)與等差數(shù)列進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納出等比數(shù)列的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。