導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念的實(shí)際背景．

B.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

1.數(shù)學(xué)抽象：導(dǎo)數(shù)的概念

2.邏輯推理：導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率

4.直觀想象：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、新知探究

前面我們研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平均速度和瞬時(shí)速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。這兩類問題來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法；問題的答案也是一樣的表示形式。下面我們用上述思想方法研究更一般的問題。

探究1： 對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量從變化到+，相應(yīng)地，函數(shù)值就從變化到。這時(shí)， 的變化量為，的變化量為

我們把比值，即=

叫做函數(shù)從到的平均變化率。

1．導(dǎo)數(shù)的概念

如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱y＝f (x)在x＝x₀處____，并把這個(gè)________叫做y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)(也稱為__________)，記作f ′(x₀)或________，即

f ′(x₀)＝ ＝ .

可導(dǎo)； 確定的值； 瞬時(shí)變化率； y′|；；

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，問題1中運(yùn)動(dòng)員在t =1時(shí)的瞬時(shí)速度，就是函數(shù)h(t)＝－4.9t²＋4.8t＋11.

在t =1處的導(dǎo)數(shù)(1) ；問題2中拋物線在點(diǎn)(1,1)

處的切線T的斜率，就是函數(shù)在x =1處的導(dǎo)數(shù)(1) ，實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述任何運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率，如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增長率等。

例1 設(shè) 求.

解：=

=1

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

??1?取極限前，要注意化簡，保證使Δx→0時(shí)分母不為0.

??函數(shù)在x₀處的導(dǎo)數(shù)f ′?x₀?只與x₀有關(guān)，與Δx無關(guān).

?3?導(dǎo)數(shù)可以描述事物的瞬時(shí)變化率，應(yīng)用非常廣泛.

跟蹤訓(xùn)練1. (1)若函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處可導(dǎo)，

則等于( )

A．f ′(x₀) B．2f ′(x₀) C．－2f ′(x₀) D．0

(2)求函數(shù)y＝3x²在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．

(1)B [∵Δx＝(x₀＋h)－(x₀－h(huán))＝2h.∴＝2＝2f ′(x₀)．故選B.]

(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)²－3＝6Δx＋3(Δx)²，

∴＝6＋3Δx，∴f ′(1)＝＝ (6＋3Δx)＝6.

跟蹤訓(xùn)練2．建造一棟面積為x m²的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解釋它的實(shí)際意義．

[解] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得

f ′(100)＝＝

＝

＝

＝

＝＋

＝0.105.

f ′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑面積為100 m²時(shí)，成本增加的速度為1 050元/m².

探究2：我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)在附近的變化情況，那么導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？

觀察函數(shù)，

平均變化率

=表示什么?

瞬時(shí)變化率

==表示什么？

2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖，割線P₀P的斜率k＝___________.記Δx＝x－x₀，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y＝f (x)無限趨近于點(diǎn)P₀時(shí)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，k無限趨近于函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)f ′(x₀)就是__________的斜率k₀，即k₀＝＝f ′(x₀)．

；切線P₀T

3．導(dǎo)函數(shù)

對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，當(dāng)x＝x₀時(shí)，f ′(x₀)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為y＝f (x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f ′(x)＝y(tǒng)′＝ .

例4. 如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

h(t)＝－4.9t²＋4.8t＋11的圖像，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t=

附近的變化情況。

解：我們用曲線h(t)在t=處的切線斜率，刻畫曲線h(t) 在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況
（1）當(dāng)t=時(shí)，曲線h(t)在t=處的切線平行于t軸，=0,

這時(shí)，在t=附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；
（2）當(dāng)t=時(shí)，曲線h(t)在t=處的切線斜率<0,這時(shí),

在t=附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=附近單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)t=時(shí)，曲線h(t)在t=處的切線斜率<0,

這時(shí),在t=附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=附近單調(diào)遞減；
從圖可以看出，直線傾斜程度小于直線傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=附近比在t=附近下降得緩慢。

導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個(gè)關(guān)鍵

關(guān)鍵點(diǎn)一：y＝f ?x?在點(diǎn)x＝x₀處的切線斜率為k，則k＞0?f ′?x₀?＞0；k＜0?f ′?x₀?＜0；k＝0?f ′?x₀?＝0.

關(guān)鍵點(diǎn)二：|f ′?x₀?|越大?在x₀處瞬時(shí)變化越快；|f ′?x₀?|越小?在x₀處瞬時(shí)變化越慢.

跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能是( )

(2)某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運(yùn)輸方案，據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q₀，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下所示．在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的是( )

[思路探究] (1)切線斜率大于零，則f ′(x)＞0；切線斜率小于零，則f ′(x)＜0；

(2)要明確運(yùn)輸效率的含義，題設(shè)中已經(jīng)給出運(yùn)輸效率即單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量，因此，運(yùn)輸效率逐步提高就是指Q′(t)不斷增大．

(1)B (2)B [(1)由y＝f (x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x＜0時(shí)，f ′(x)＞0；當(dāng)x＝0時(shí)，f ′(x)＝0；當(dāng)x＞0時(shí)，f ′(x)＜0，故B符合．

(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在[0，T]上越來越陡峭，在各選項(xiàng)中，只有B項(xiàng)中圖象的切線斜率在不斷增大，即運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高．故選B.]

通過對(duì)上節(jié)兩個(gè)基本問題的回顧，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過具體問題的思考和分析，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的意義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析，幫助學(xué)生掌握求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過回顧曲線上某點(diǎn)出割線與切線斜率的問題，歸納出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能簡單應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及求曲線上某點(diǎn)處切線斜率的基本方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)

(1)函數(shù)y＝f (x)在x＝x₀處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的斜率，也就是k＝f ′(x₀)． ( )

(2)f ′(x₁)＞f ′(x₂)反映了曲線在x＝x₁處比在x＝x₂處瞬時(shí)變化率較大． ( )

(3)f ′(x₀)就是導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)在x₀處的函數(shù)值． ( )

(4)若f ′(x₀)＝0，則曲線在x＝x₀處切線不存在． ( )

解析： (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知正確．

(2)若|f (x₀)|越大，瞬時(shí)變化率越大，故錯(cuò)誤．

(3)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義知正確．

(4)若f ′(x₀)＝0說明曲線在x＝x₀處切線平行于x軸，不能說不存在．

[答案] (1)√ (2) (3)√ (4)

2．已知函數(shù)y＝f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f ′(1)＝2，則＝( )

A． B．2 C．1 D．－1

C [由題意可得：＝＝f ′(1)，即：＝2＝1.故應(yīng)選C.]

3．已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(x_A)與f ′(x_B)的大小關(guān)系是( )

A．f ′(x_A)＞f ′(x_B) B．f ′(x_A)＜f ′(x_B)

C．f ′(x_A)＝f ′(x_B) D．不能確定

B 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f ′(x_A)，f ′(x_B)分別是切線在點(diǎn)A、B處切線的斜率，由圖象可知f ′(x_A)＜f ′(x_B)．

4.若曲線y＝x²＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )

A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1

C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1

A 解析：由題意，知k＝y(tǒng)′|_x＝0＝＝1，

∴a＝1.又點(diǎn)(0，b)在切線上，∴b＝1，故選A.

5．已知曲線y＝2x²－7在點(diǎn)P處的切線方程為8x－y－15＝0，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)．

[解] 設(shè)切點(diǎn)P(m，n)，切線斜率為k，

由y′＝＝＝ (4x＋2Δx)＝4x，得k＝y(tǒng)′|_x＝m＝4m.

由題意可知4m＝8，∴m＝2.

代入y＝2x²－7得n＝1.

故所求切點(diǎn)P為(2，1)．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。