變化率問題教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.通過求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度，體會(huì)求瞬時(shí)速度的一般方法.

B.通過求曲線處某點(diǎn)處切線斜率的過程，體會(huì)求切線斜率的一般方法.

C.理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念．

1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)的變化率

2.邏輯推理：平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求解瞬時(shí)速度與切線斜率

4.數(shù)學(xué)建模：函數(shù)的變化率

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、導(dǎo)語

在必修第一冊(cè)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對(duì)數(shù)增長” 是越來越慢的，“指數(shù)爆炸” 比“直線上升” 快得多，進(jìn)一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢，下面我們就來研究這個(gè)問題。

二、新知探究

問題1 高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.

如何描述用運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？

直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)的越來越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)的越來越快，我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似的描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

例如,在 0 ≤ t ≤0.5這段時(shí)間里，

在 1≤ t ≤2這段時(shí)間里，

一般地，在≤ t ≤這段時(shí)間里，

探究1：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 ≤ t ≤這段時(shí)間內(nèi)的平均速度你發(fā)現(xiàn)了什么？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？

為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念。

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。

探究2：瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1是的瞬時(shí)速度嗎？

1．平均變化率

對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，從x1到x2的平均變化率：

(1)自變量的改變量：Δx＝_______.

(2)函數(shù)值的改變量：Δy＝_____________．

(3)平均變化率＝ ＝ .

x2－x1；f (x2)－f (x1)；；

2.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率

(1)物體在________的速度稱為瞬時(shí)速度．

(2)函數(shù)f (x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時(shí)的極限，即＝ .

某一時(shí)刻；

問題2. 拋物線的切線的斜率
我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切，對(duì)于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？下面我們以拋物線為例進(jìn)行研究.

探究3. 你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線在點(diǎn)處的切線？

與研究瞬時(shí)速度類似為了研究拋物線在點(diǎn)處的切線，我們通常在點(diǎn)的附近取一點(diǎn)考察拋物線的割線 的變化情況。

探究4.我們知道斜率是確定直線的一個(gè)要素，如何求拋物線在點(diǎn)處的切線T的斜率呢？

從上述切線的定義可見，拋物線在點(diǎn)處的切線T的斜率與割線P的斜率有內(nèi)在的聯(lián)系，

記點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是割線P的斜率

+2

利用計(jì)算工具計(jì)算更多割線P的斜率的值，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，割線P的斜率有什么變化趨勢(shì)？

從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)，于是割線P無限趨近于點(diǎn)處的切線，這時(shí)，割線P的斜率無限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率，因此，切線的斜率=2.

3．曲線的切線斜率

(1)設(shè)P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲線y＝f (x)上任意不同兩點(diǎn)，則平均變化率＝為割線P0P的_____．

(2)當(dāng)P點(diǎn)逐漸靠近P0點(diǎn)，即Δx逐漸變小，當(dāng)Δx→0時(shí)，瞬時(shí)變化率 就是y＝f (x)在x0處的____的斜率即k＝ .

斜率；切線；；

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)

(1)Δx趨近于零時(shí)表示Δx＝0． ( )

(2)平均變化率與瞬時(shí)變化率可能相等． ( )

(3)瞬時(shí)變化率刻畫某函數(shù)在某點(diǎn)處變化快慢的情況． ( )

(4)函數(shù)y＝f (x)在某x＝x0的切線斜率可寫成

k＝． ( )

[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)√

2．函數(shù)y＝f (x)，自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy為( )

A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx

C．f (x0)Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)

D [Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故選D.]

3．若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝8＋t2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間[2，2.1]內(nèi)的平均速度是( )

A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1

B [＝＝＝＝4.1，故選B.]

三、典例解析

例1．某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度．

[思路探究]

―→

[解]

∵＝＝＝3＋Δt，

∴＝ (3＋Δt)＝3.

∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3.

即物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s.

求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟

設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為s＝s?t?，則求物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：

1寫出時(shí)間改變量Δt，位移改變量Δs?Δs＝s?t0＋Δt?－s?t0??.

求平均速度：＝.

3求瞬時(shí)速度v：當(dāng)Δt→0時(shí)，→v?常數(shù)?.

跟蹤訓(xùn)練1．在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．

[解] 求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．

∵＝＝＝1＋Δt，

∴ (1＋Δt)＝1.

∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，

即物體的初速度為1 m/s.

跟蹤訓(xùn)練2．在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.

[解] 設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.

又＝＝(2t0＋1)＋Δt.

＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.

則2t0＋1＝9，∴t0＝4.

則物體在4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為9 m/s.

例2.已知函數(shù)y＝x－，則該函數(shù)在點(diǎn)x＝1處的切線斜率為?

解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，

∴斜率k＝＝＝1＋1＝2.

通過導(dǎo)語，通過對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感受不同函數(shù)變化快慢的問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出平均速度與瞬時(shí)速度的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過物體運(yùn)動(dòng)問題，抽象出函數(shù)平均變化率、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過曲線上某點(diǎn)出割線與切線斜率的問題，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)平均變化率與瞬時(shí)變化率的理解，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握平均速度與瞬時(shí)速度的算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝9.8 m/s，那么下列說法中正確的是( )

A．9.8 m/s是物體從0 s到1 s這段時(shí)間內(nèi)的速率

B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速率

C．9.8 m/s是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速率

D．9.8 m/s是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率

C [結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率可知選項(xiàng)C正確．]

2．已知函數(shù)f (x)＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1，1)及其附近一點(diǎn)(1＋Δx，f (1＋Δx))，則等于________．

4＋2Δx [Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(212－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝2Δx＋4.]

3．已知函數(shù)f (x)＝3x2＋5，求f (x)：

(1)從0.1到0.2的平均變化率；

(2)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率．

[解] (1)因?yàn)閒 (x)＝3x2＋5，

所以從0.1到0.2的平均變化率為＝0.9.

(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)

=3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.

函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的

平均變化率為＝6x0＋3Δx.

4．求函數(shù)y＝在x＝2處的切線的斜率．

[解] ∵Δy＝－＝－1＝－，

∴＝－，

∴k＝＝＝＝－1.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。