對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1、掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)；能利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決簡單問題;

2、經(jīng)過探究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，對數(shù)函數(shù)內(nèi)部的的聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力；滲透類比等基本數(shù)學(xué)思想方法。

3、在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)過程中，使學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，探索數(shù)學(xué)。

a.數(shù)學(xué)抽象：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

b.邏輯推理：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小；

d.直觀想象：對數(shù)函數(shù)的圖像；

e.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用對數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問題；

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）、問題探究

思考：我們該如何去研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？

問題1. 利用“描點(diǎn)法”作函數(shù)和的圖像．

函數(shù)的定義域?yàn)?，取x的一些值,列表如下：

問題2：我們知道，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱．對于底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)， 比如 和的圖像，它們的圖象是否也有某種對稱關(guān)系呢？可否利用其中一個函數(shù)的圖象畫出另一個函數(shù)的圖象？

發(fā)現(xiàn)：函數(shù)和的圖像都在y軸的右邊,關(guān)于x軸對稱

問題3：底數(shù)a（a＞０，且a≠１）的若干個不同的值，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的圖象．觀察這些圖象的位置、公共點(diǎn)和變化趨勢，它們有哪些共性

由此你能概括出對數(shù)函數(shù)（a＞０，且a≠１）的值域和性質(zhì)嗎？

結(jié)論1．函數(shù)和的圖像都在y軸的右邊；

2．圖像都經(jīng)過點(diǎn)；

3．函數(shù)的圖像自左至右呈上升趨勢；函數(shù)的圖像自左至右呈下降趨勢．

觀察兩幅圖象，得到a>1和0

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的助記口訣:對數(shù)增減有思路, 函數(shù)圖象看底數(shù);底數(shù)只能大于0, 等于1來也不行;底數(shù)若是大于1, 圖象從下往上增;底數(shù)0到1之間, 圖象從上往下減;無論函數(shù)增和減, 圖象都過(1,0)點(diǎn).

（二）、典例解析

例1 比較下面兩個值的大小

⑴ ，；⑵ ，⑶ ，( a＞0 , a≠1 )

解析：（1）:用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)y=log 2 x ∵a=2 > 1,

∴函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；∵3.4<8.5，∴ log23.4< log28.5（2）：考察函數(shù)y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

（3）：考察函數(shù)log a 5.1與 log a 5.9 可看作函數(shù)y=log a x的兩個函值 , 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a是大于1還是小于1，因此需要對底數(shù)a進(jìn)行討論;當(dāng)a > 1時, 因?yàn)閥=log a x是增函數(shù)，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；當(dāng)0< a < 1時, 因?yàn)閥=log a x是減函數(shù)，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；

歸納總結(jié)：1.當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時,要對底數(shù)a與1的大小進(jìn)行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1． 比較下列各題中兩個值的大小:

⑴ log106 log108； ⑵ log0.56 log0.54

⑶ log0.10.5 log0.10.6；⑷ log1.51.6 log1.51.4

答案：＜；＜；＞；＞

跟蹤訓(xùn)練2：已知下列不等式，比較正數(shù)m，n 的大?。?/p>

(1) log 3 m < log 3 n； (2) log 0.3 m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0 log a n (a>1)

答案：m < n；m < n；m > n；m > n

已知函數(shù) y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，對于任意一個y∈（0，+∞），通過式子x=log2y ，x在R中都有唯一確定的值和它對應(yīng)。也就是說，可以把y作為自變量，x作為y的函數(shù)，這是我們就說x=log2y （y∈（0，+∞））是函數(shù) y=2x （ x∈R）的反函數(shù)。

但習(xí)慣上，我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)。為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=log2y 中的字母x，y，把它寫成y=log2x ,這樣，對數(shù)函數(shù)y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指數(shù)函數(shù)y=2x （x∈R ）的反函數(shù)。

因此，函數(shù) y = logax (a＞0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y = ax互為反函數(shù)。它們的定義域和值域恰好相反。

溫故知新，通過對上節(jié)指數(shù)函數(shù)問題的回顧，提出新的問題，提出研究對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的方法。培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

通過畫出特殊的對數(shù)函數(shù)的圖形，觀察歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；

通過典例問題的分析，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)。

運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決比較大小問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)；

通過對應(yīng)用問題的解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；

三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1．函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的可能取值為( )

A．5 B. C. D.

【答案】A [由圖可知，a>1，故選A.]

2.當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為( )

A B C D

【答案】：C [(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選C.]

3.已知f(x)＝loga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象.

解析： ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，

∴f(x)是偶函數(shù)，其圖象如圖所示．

4．函數(shù)f(x)＝loga(2x－5)的圖象恒過定點(diǎn)________．

【答案】(3,0) [由2x－5＝1得x＝3，∴f(3)＝loga1＝0.即函數(shù)f(x)恒過定點(diǎn)(3,0)．]

5.比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:

解:(1)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴l(xiāng)og67＞log76

(2)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴l(xiāng)og3π＞log20.8

6:解不等式:

解：原不等式可化為：，

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固對數(shù)函數(shù)的概念，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。