正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像 教學(xué)設(shè)計(jì)（2）

由于三角函數(shù)是刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，這也是三角函數(shù)不同于其他類(lèi)型函數(shù)的最重要的地方，而且對(duì)于周期函數(shù)，我們只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期的區(qū)間上的性質(zhì)，那么它的性質(zhì)也就完全清楚了，因此本節(jié)課利用單位圓中的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來(lái)作圖，從畫(huà)出的圖形中觀察得出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖．

課程目標(biāo)

1.掌握“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線.

2.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：正弦曲線與余弦曲線的概念；

2.邏輯推理：正弦曲線與余弦曲線的聯(lián)系；

3.直觀想象：正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖像；

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：五點(diǎn)作圖；

5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)正弦、余弦圖象圖像，解決不等式問(wèn)題及零點(diǎn)問(wèn)題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象．

難點(diǎn)：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

遇到一個(gè)新的函數(shù)，非常自然地是畫(huà)出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特殊點(diǎn)，并借助圖象研究它的性質(zhì)，如：值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值與最小值等．我們也很自然地想知道y＝sinx與y＝cosx的圖象是怎樣的呢？回憶我們?cè)诒匦?中學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是什么？是如何畫(huà)出它們圖象的(列表描點(diǎn)法：列表、描點(diǎn)、連線)？請(qǐng)學(xué)生嘗試畫(huà)出當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，y＝sinx的圖象．

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本196-199頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1.任意角的正弦函數(shù)在單位圓中是怎樣定義的？

2．怎樣作出正弦函數(shù)y=sinx的圖像？

3.怎樣作出余弦函數(shù)y＝cos x的圖像？

4.正弦曲線與余弦曲線的區(qū)別與聯(lián)系.

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1．正弦曲線、余弦曲線

(1)定義：正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)和余弦函數(shù)y＝cos x(x∈R)的圖象分別叫做 正弦 曲線和余弦曲線．

(2)圖象：如圖所示．

2．“五點(diǎn)法”畫(huà)圖

步驟：(1)列表：

(2)描點(diǎn)：畫(huà)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．；

畫(huà)余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

(3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn)，得到正、余弦曲線的簡(jiǎn)圖．

3．正、余弦曲線的聯(lián)系

依據(jù)誘導(dǎo)公式cos x＝sin，要得到y(tǒng)＝cos x的圖象，只需把y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可．

四、典例分析、舉一反三

題型一 作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

例1畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖1)．

圖1

(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖2)．

圖2

解題技巧：（簡(jiǎn)單三角函數(shù)圖像畫(huà)法）

1、五點(diǎn)作圖法：作正弦曲線、余弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點(diǎn)法作圖.“五點(diǎn)”即y＝sin x或y＝cos x的圖象在[0,2π]內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn).

2、圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換.

跟蹤訓(xùn)練一

1.畫(huà)出函數(shù)y＝|sinx|，x∈R的簡(jiǎn)圖．

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】按三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：

描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖3)．

圖3

2. 在給定的直角坐標(biāo)系如圖4中，作出函數(shù)f(x)＝cos(2x＋)在區(qū)間[0，π]上的圖象．

【答案】見(jiàn)解析．

【解析】列表取點(diǎn)如下：

描點(diǎn)連線作出函數(shù)f(x)＝cos(2x＋)在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖5所示．

圖4 圖5

題型二 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例2 求函數(shù)f(x)＝lg sin x＋的定義域.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】由題意，得x滿足不等式組即

作出y＝sin x的圖象，如圖所示.

結(jié)合圖象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).

例3 在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y＝sin x和y＝lg x的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sin x＝lg x的解的個(gè)數(shù).

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，再依次向左、右連續(xù)平移2π個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin x的圖象.

描出點(diǎn)(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lg x的圖象，如圖所示.

由圖象可知方程sin x＝lg x的解有3個(gè)

解題技巧： (正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用)

1.解不等式問(wèn)題：三角函數(shù)的定義域或不等式可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.

2.方程的根(或函數(shù)零點(diǎn))問(wèn)題：三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過(guò)圖象可較簡(jiǎn)便的解決問(wèn)題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

跟蹤訓(xùn)練二

1.函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)________________________________.

【答案】，k∈Z.