二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質教案

1．掌握二次函數(shù)y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2(a≠0)圖象之間的聯(lián)系；(重點)

2．能靈活運用二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2(a≠0)的知識解決簡單的問題．(難點)

一、情境導入

二次函數(shù)y＝ax2＋c(a≠0)的圖象可以由y＝ax2(a≠0)的圖象平移得到：

當c>0時，向上平移c個單位長度；

當c<0時，向下平移－c個單位長度．

問題：函數(shù)y＝ (x－2)2的圖象，能否也可以由函數(shù)y＝ x2平移得到？本節(jié)課我們就一起討論．

二、合作探究

探究點：二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與性質

【類型一】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象

頂點為(－2，0)，開口方向、形狀與函數(shù)y＝－x2的圖象相同的拋物線的解析式為()

A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2

C．y＝－(x＋2)2 D．y＝－(x－2)2

解析：因為拋物線的頂點在x軸上，所以可設該拋物線的解析式為y＝a(x－h(huán))2(a≠0)，而二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2(a≠0)與y＝－x2的圖象相同，所以a＝－，而拋物線的頂點為(－2，0)，所以h＝2，把a＝－，h＝2代入y＝a(x－h(huán))2得y＝－(x＋2)2.故選C.

方法總結：決定拋物線形狀的是二次項的系數(shù)，二次項系數(shù)相同的拋物線的形狀完全相同．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

【類型二】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的性質

若拋物線y＝3(x＋)2的圖象上的三個點，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，則y1，y2，y3的大小關系為________________．

解析：∵拋物線y＝3(x＋)2的對稱軸為x＝－，a＝3＞0，∴x＜－時，y隨x的增大而減小；x＞－時，y隨x的增大而增大．∵點A的坐標為(－3，y1)，∴點A在拋物線上的對稱點A′的坐標為(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案為y2＜y3＜y1.

方法總結：函數(shù)圖象上點的坐標滿足解析式，即點在拋物線上．解決本題可采用代入求值方法，也可以利用二次函數(shù)的增減性解決．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題

【類型三】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象與y＝ax2的圖象的關系

將二次函數(shù)y＝－2x2的圖象平移后，可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象，平移的方法是()

A．向上平移1個單位B．向下平移1個單位

C．向左平移1個單位D．向右平移1個單位

解析：拋物線y＝－2x2的頂點坐標是(0，0)，拋物線y＝－2(x＋1)2的頂點坐標是(－1，0)．則由二次函數(shù)y＝－2x2的圖象向左平移1個單位即可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖象．故選C.

方法總結：解決本題要熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題

【類型四】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2與三角形的綜合

如圖，已知拋物線y＝(x－2)2的頂點為C，直線y＝2x＋4與拋物線交于A、B兩點，試求S△ABC.

解析：根據(jù)拋物線的解析式，易求得點C的坐標；聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，可求得A、B的坐標．畫出草圖后，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積無法直接求出，因此可將其轉換為其他規(guī)則圖形的面積求解．

解：拋物線y＝(x－2)2的頂點C的坐標為(2，0)，聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，得解得所以點A的坐標為(6，16)，點B的坐標為(0，4)．

如圖，過A作AD⊥x軸，垂足為D，則S△ABC＝S梯形ABOD－S△ACD－S△BOC＝(OB＋AD)OD－OCOB－CDAD＝(4＋16)6－24－416＝24.

方法總結：解決本題要明確以下兩點：(1)函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解；(2)不規(guī)則圖形的面積通常轉化為規(guī)則圖形的面積的和差．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題

【類型五】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的探究性問題

某拋物線是由拋物線y＝－2x2向左平移2個單位得到．

(1)求拋物線的解析式，并畫出此拋物線的大致圖象；

(2)設拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B.

①求線段AB的長及直線AB的解析式；

②在此拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出這樣的點C的坐標；若不存在，請說明理由．

解析：(1)拋物線y＝－2x2向左平移2個單位所得的拋物線的解析式是y＝－2(x＋2)2；(2)①根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式，即可得出其頂點A和B點的坐標，然后根據(jù)A，B兩點的坐標即可求出直線AB的解析式；②本題要分三種情況進行討論解答．

解：(1)y＝－2(x＋2)2，圖略；

(2)①根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式y(tǒng)＝－2(x＋2)2，可得A點的坐標為(－2，0)，B點的坐標為(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理可得AB＝2.設直線AB的解析式為y＝kx－8，已知直線AB過A點，則有0＝－2k－8，k＝－4，因此直線AB的解析式為y＝－4x－8；

②本題要分三種情況進行討論：當AB＝AC時，此時C點的縱坐標的絕對值即為AB的長，因此C點的坐標為C1(－2，2)，C2(－2，－2)；當AB＝BC時，B點位于AC的垂直平分線上，所以C點的縱坐標為B點的縱坐標的2倍，因此C點的坐標為C3(－2，－16)；當AC＝BC時，此時C為AB垂直平分線與拋物線對稱軸的交點．過B作BD垂直于拋物線的對稱軸于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A點橫坐標的絕對值)，CD＝8－AC，而BC＝AC，由此可根據(jù)勾股定理求出AC＝，因此這個C點的坐標為C4(－2，)．

綜上所述，存在四個點，C1(－2，2)，C2(－2，－2 )，C3(－2，－16)，C4(－2，－)．

方法總結：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移及等腰三角形的構成情況，主要涉及分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法的運用．