空間向量及其運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；

B.掌握空間向量的運(yùn)算；加減、數(shù)乘、數(shù)量積；

C.能運(yùn)用向量運(yùn)算判斷向量的共線與垂直.

1.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算判斷共線與垂直；

2..直觀想象：向量運(yùn)算的幾何意義；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量的加減、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律；

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

章前圖展示的是一個(gè)做滑翔運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)景，可以想象在滑翔過(guò)程中，飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向大小各異的力，例如繩索的拉力，風(fēng)力，重力等，顯然這些力不在同一個(gè)平內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問(wèn)題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)員呢，下面我們類比平面向量，研究空間向量，先從空間上的概念和表示開始。

二、探究新知

知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的概念

思考1. 類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.

答案 在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.

(1)在空間，把具有_____和_____的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_____或___.

空間向量用有向線段表示，有向線段的_____表示向量的模，a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作，其模記為__________.

方向；大小；長(zhǎng)度；模；長(zhǎng)度；|a|或||

(2)幾類特殊的空間向量

零向量；模為1；相等；相反；相同；相等；同向；等長(zhǎng)

知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律

思考2. 下面給出了兩個(gè)空間向量a、b，作出b＋a，b－a.

答案 如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，＝b，則＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.

(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算.

＝＋＝a＋b

＝－＝a－b

＝＋＝＋＝a＋b

(2)空間向量加法交換律

a＋b＝b＋a

空間向量加法結(jié)合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

知識(shí)點(diǎn)三 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

思考3. 實(shí)數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義是什么？向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？

答案 λ＞0時(shí)，λa和a方向相同；λ＜0時(shí)，λa和a方向相反；λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍.

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，

②結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a.

(1)實(shí)數(shù)與向量的積

與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

①|λa|＝____.

②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向 ；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.

(2)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律

①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；

③(λ₁＋λ₂)a＝_________(拓展).

相反；|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ₁a＋λ₂a

知識(shí)點(diǎn)四 共線向量與共面向量

思考4. 回顧平面向量中關(guān)于向量共線知識(shí)，給出空間中共線向量的定義.

答案 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.

平行或重合；a＝λb；方向向量；＝＋ta；

惟一；p＝xa＋yb；x＋y；x＋y

做一做

1.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.

(1)′－； (2)＋＋′.

解（1） －＝－＝＋＝.

（2） ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如圖所示.

例1.已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點(diǎn)O引向量．

＝k＝k,＝k，＝k．

求證：四點(diǎn)E，F，G，H共面

【分析】（1）可畫出圖形，根據(jù)便可得到，從而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，這便可判斷四邊形EFGH為平行四邊形，從而得出四點(diǎn)E，F，G，H共面；

解：（1）證明：如圖，

∵；∴；

EF∥AB，且EF＝|k|AB；

同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；

∴EF∥HG，且EF＝HG；

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

∴四點(diǎn)E，F，G，H共面；

知識(shí)點(diǎn)五 空間向量數(shù)量積的概念

思考 如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，類比平面向量有關(guān)運(yùn)算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個(gè)向量數(shù)量積的方法.

解 ∵＝－，

∴＝－

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

＝84cos 135－86cos 120＝24－16.

求兩個(gè)向量的數(shù)量積需先確定這兩個(gè)向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長(zhǎng)度不確定時(shí)，可用已知夾角和長(zhǎng)度的向量來(lái)表示該向量，再代入計(jì)算.

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作ab.

(2)數(shù)量積的運(yùn)算律

ab＋ac；λ(ab)；ba

(3)空間向量的夾角

①定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則______叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉.②范圍：〈a，b〉∈_______.特別地：當(dāng)〈a，b〉＝___時(shí)，a⊥b.

∠AOB；[0，π]；

；；ab＝0；|a||b|；－|a||b|；|a|²

例2．已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，

AA′＝5，∠BAD＝90，∠BAA′＝∠DAA′＝60，

（1）求AC′的長(zhǎng)；（如圖所示）

（2）求與的夾角的余弦值．

【分析】（1）可得＝＝，由數(shù)量積的運(yùn)算可得，開方可得；

（2）由（1）可知，又可求和，代入夾角公式可得．

解：（1）可得＝＝，

＝＝+2（）

＝4²+3²+5²+2（430+4）＝85

故AC′的長(zhǎng)等于＝

例3．已知：m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l與α的交點(diǎn)為B，且l⊥m，l⊥n．

求證：l⊥α

解：設(shè)直線m的方向向量為，直線n的方向向量為，直線l的方向向量為，

∵m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線

∴與是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，設(shè)平面α內(nèi)的任一向量為，

由平向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)λμ，使＝λ+μ

又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0

∴?＝＝λ+μ＝0

∴

∴直線l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，

由線面垂直的定義得：l⊥α

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平面向量知識(shí)類比學(xué)習(xí)空間向量

由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問(wèn)題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系。即空間向量是平面向量向空間的拓展，處理空間向量問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為平面向量解決。

讓學(xué)生鞏固空間向量加減法及其運(yùn)算律的同時(shí)讓學(xué)生感受空間向量和立體圖形間的聯(lián)系，體現(xiàn)空間向平面的轉(zhuǎn)化思想。

通過(guò)具體問(wèn)題，讓學(xué)生感受空間向量在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過(guò)類比平面向量數(shù)量積的運(yùn)算讓學(xué)生掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，并能解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列命題中，假命題是( )

A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共線的單位向量都相等

答案：D

解析 容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.

2.在下列命題中：

①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；

②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；

③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案A

解析 根據(jù)空間向量的基本概念知四個(gè)命題都不對(duì).

3.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是( )

A. a＝b B. a＋b為實(shí)數(shù)0

C. a與b方向相同 D. |a|＝3

答案D

解析 向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反.故D正確.

4.在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知下列各式：①(＋)＋₁；②(₁＋₁)＋₁；③(＋₁)＋B₁C₁；④(₁＋₁)＋₁.其中運(yùn)算的結(jié)果為₁的有___個(gè).

答案 4

解析 根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷：

①(＋)＋₁＝＋₁＝₁；

②(₁＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁；

③(＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁；

④(₁＋₁)＋₁＝₁＋₁＝₁.

所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是₁.

5.設(shè)e₁，e₂是平面內(nèi)不共線的向量，已知＝2e₁＋ke₂，＝e₁＋3e₂，＝2e₁－e₂，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝____.

答案－8

解析 ＝－＝e₁－4e₂，＝2e₁＋ke₂，

又A、B、D三點(diǎn)共線，由共線向量定理得＝λ，

∴＝.∴k＝－8.

6.已知a、b是異面直線，且a⊥b，e₁、e₂分別為取自直線a、b上的單位向量，且a＝2e₁＋3e₂，b＝ke₁－4e₂，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為___.

答案 6

解析 由a⊥b，得ab＝0，

∴(2e₁＋3e₂)(ke₁－4e₂)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.

7.BB₁⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90的等腰直角三角形，?ABB₁A₁、?BB₁C₁C的對(duì)角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線BA₁與AC所成的角.

解 如圖所示.∵₁＝＋₁，＝＋，

∴₁＝(＋₁)(＋)＝＋＋₁

＋₁.

因?yàn)?/span>AB⊥BC，BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，

∴＝0，₁＝0，₁＝0且＝－a².

∴₁＝－a².

又₁＝|₁|||cos〈₁，〉，

又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈₁，〉＝120，

又∵異面直線所成的角是銳角或直角，

∴異面直線BA₁與AC成60角.

∴cos〈₁，〉＝＝－.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。