冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計（2）

冪函數(shù)是在繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之后，又學(xué)習(xí)了單調(diào)性、最值、奇偶性的基礎(chǔ)上，借助實例，總結(jié)出冪函數(shù)的概念，再借助圖像研究冪函數(shù)的性質(zhì).

課程目標(biāo)

1、理解冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象；

2、結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì)；

3、通過觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生概括抽象和識圖能力．

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：用數(shù)學(xué)語言表示函數(shù)冪函數(shù)；

2.邏輯推理：常見冪函數(shù)的性質(zhì)；

3.數(shù)學(xué)運算：利用冪函數(shù)的概念求參數(shù)；

4.數(shù)據(jù)分析：比較冪函數(shù)大??；

5.數(shù)學(xué)建模：在具體問題情境中，運用數(shù)形結(jié)合思想，利用冪函數(shù)性質(zhì)、圖像特點解決實際問題。

重點：常見冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；

難點：冪函數(shù)的單調(diào)性及比較兩個冪值的大小．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

學(xué)生閱讀課本89頁五個實例，求解析式？觀察五個解析式有什么共同特征？

問題1：如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數(shù)p=w元，這里p是w的函數(shù).

問題2：如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù).

問題3：如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V=a3，這里V是a的函數(shù).

問題4：如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長a=S，這里a是S的函數(shù).

問題5：如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 km，那么他騎車的平均速度v=t－1km/s，這里v是t的函數(shù).

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.

二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本89-90頁，思考并完成以下問題

1. 冪函數(shù)是如何定義的？

2. 冪函數(shù)的解析式具有什么特點？

3. 常見冪函數(shù)的圖象是什么？它具有哪些性質(zhì)？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1．冪函數(shù)

一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

2、冪函數(shù)的性質(zhì)

四、典例分析、舉一反三

題型一 冪函數(shù)的概念

例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數(shù),試確定m的值.

【答案】m=3

【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.

當(dāng)m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數(shù);

當(dāng)m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),不符合要求.故m=3.

解題技巧：（判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)）

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形 式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項.反之,若一個函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.

跟蹤訓(xùn)練一

1.如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)的圖象不過原點,求實數(shù)m的取值.

【答案】m=1或m=2.

【解析】 由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;

當(dāng)m=1時,m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;

當(dāng)m=2時,m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.

綜上所述,m=1或m=2.

題型二 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例2 已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,

則a,b,c的大小關(guān)系為 ( )

A.c

C.b

【答案】A

【解析】由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0

解題技巧：(冪函數(shù)圖像與性質(zhì))

1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結(jié)合圖象可知2a>2b>2c,又函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),于是a>b>c.

2.對于函數(shù)y=xα(α為常數(shù))而言,其圖象有以下特點:

(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.

(2)當(dāng)x∈(0,1)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當(dāng)x∈(1,+∞)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).

(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y= y=x,y=x3)來判斷.

(4)當(dāng)α>0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數(shù);當(dāng)α<0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練二

1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是( )

A.n

B.m

C.n>m>0

D.m>n>0

【答案】 A

【解析】畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數(shù)圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關(guān)系可知,n

題型三 利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例3比較下列各組中兩個數(shù)的大小:

(1);

(2);

(3).

【答案】見解析

【解析】(1)∵冪函數(shù)y=在[0,+∞)上是增函數(shù),

又,∴.

(2)∵冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是減函數(shù),

又-<-,∴.

(3)∵函數(shù)y1=在定義域內(nèi)為減函數(shù),且,∴.

又函數(shù)y2=在[0,+∞)上是增函數(shù),且,