幾何問題及數(shù)字問題與一元二次方程教案

1．掌握列一元二次方程解決幾何問題、數(shù)學(xué)問題，并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果的合理性；(重點(diǎn)、難點(diǎn))

2．理解將一些實(shí)際問題抽象為方程模型的過程，形成良好的思維習(xí)慣，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、分析問題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識解決問題．

一、情景導(dǎo)入

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?

二、合作探究

探究點(diǎn)一：利用一元二次方程解決幾何問題

【類型一】面積問題

要對一塊長60米，寬40米的矩形荒地ABCD進(jìn)行綠化和硬化．設(shè)計(jì)方案如圖所示，矩形P，Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的，求P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．

解：設(shè)P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為x米．

根據(jù)題意，得(60－3x)(40－2x)＝6040，

解得x1＝10，x2＝30.

檢驗(yàn)：如果硬化路面寬為30米，則230＝60＞40，所以x2＝30不符合題意，舍去，故x＝10.

故P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為10米．

易錯提醒：在應(yīng)用題中，未知數(shù)的允許值往往有一定的限制，因此除了檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否滿足所列方程外，還必須檢驗(yàn)它在實(shí)際問題中是否有意義．在求出方程的解為10或30時，如果不進(jìn)行驗(yàn)根，就會誤以為本題有兩個答案，而題目中明確有“荒地ABCD是一塊長60米，寬40米的矩形”這個已知條件，顯然x＝30不符合題意．

【類型二】動點(diǎn)問題

如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動，點(diǎn)P停止運(yùn)動時點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．

(1)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2?

(2)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm?

解：(1)設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始xs時，四邊形PBCQ的面積為33cm2，根據(jù)題意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.

故(2x＋16－3x)6＝33，解得x＝5.

故P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始5s時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；

(2)設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始xs時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm.

如圖，過Q點(diǎn)作QM⊥AB于點(diǎn)M，則BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.

在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，

∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.

∵所求的是第一次滿足條件的時間，∴x＝.

故P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始s時，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm.

方法總結(jié)：解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是尋找點(diǎn)運(yùn)動的過程中變化的量與不變的量，尋找等量關(guān)系列方程．對于動點(diǎn)問題，常先假設(shè)出點(diǎn)的位置，根據(jù)面積或其他關(guān)系列出方程，如果方程的根符合題目的要求，就說明假設(shè)成立，否則，假設(shè)不成立．

探究點(diǎn)二：利用一元二次方程解決數(shù)字問題

有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為14，交換位置后，得到新的兩位數(shù)，比這兩個數(shù)字的積還大38，求這個兩位數(shù)．

解析：這是一個數(shù)字排列的問題，題中有兩個等量關(guān)系，由前一個等量關(guān)系知，個位數(shù)字與十位數(shù)字均可用同一個未知數(shù)表示，這樣交換位置后的新兩位數(shù)也可以用上述未知數(shù)表示出來，然后根據(jù)后一個等量關(guān)系可列方程求解．