一次函數(shù)與正比例函數(shù)教案

1．掌握一次函數(shù)的概念，能根據(jù)條件寫出一次函數(shù)的關(guān)系式；(重點(diǎn))

2．掌握正比例函數(shù)的概念．(重點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

生活中，我們常常見到各式各樣的鐘表．時鐘的秒針每旋轉(zhuǎn)一圈，表示時間過了1min；旋轉(zhuǎn)兩圈，表示時間過了2min……

那么，秒針走過的圈數(shù)與經(jīng)過的時間之間的關(guān)系如何表示呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一次函數(shù)與正比例函數(shù)

【類型一】一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識別

下列函數(shù)關(guān)系式中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？

(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6；

(3)y＝2πx; (4)y＝－；

(5)y＝； (6)y＝8x2＋x(1－8x)．

解析：首先看每個函數(shù)的表達(dá)式能否變形轉(zhuǎn)化為y＝kx＋b(k≠0，k、b是常數(shù))的形式，如果x的次數(shù)是1，則是一次函數(shù)，否則不是一次函數(shù)；在一次函數(shù)中，如果常數(shù)項(xiàng)b＝0，那么它是正比例函數(shù)．

解：(1)是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)；

(2)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；

(3)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；

(4)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；

(5)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；

(6)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．

方法總結(jié)：一個函數(shù)是一次函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項(xiàng)系數(shù)不為零；判斷一個函數(shù)是正比例函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，常數(shù)項(xiàng)為零．

【類型二】根據(jù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義求字母的值

已知函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.

(1)若它是一次函數(shù)，求m的值；

(2)若它是正比例函數(shù)，求m的值．

解析：(1)要使函數(shù)是一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的定義x的指數(shù)m2－24＝1，且一次項(xiàng)系數(shù)m－5≠0；(2)要使函數(shù)是正比例函數(shù)，除了滿足上述條件外，還需加上m＋1＝0這個條件．

解：(1)因?yàn)閥＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝5且m≠5，所以m＝－5.所以當(dāng)m＝－5時，函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)．

(2)因?yàn)閥＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝5且m≠5且m＝－1，則這樣的m不存在，所以函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能為正比例函數(shù)．

方法總結(jié)：函數(shù)是一次函數(shù)，則k≠0，且自變量的次數(shù)為1.當(dāng)b＝0時，一次函數(shù)為正比例函數(shù)．

探究點(diǎn)二：一次函數(shù)關(guān)系式的確定

某公司以每噸200元的價(jià)格購進(jìn)某種礦石原料300噸，用以生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品或1噸乙產(chǎn)品所需該礦石和煤原料的噸數(shù)如下表：

產(chǎn)品	資源/噸)	甲	乙
礦石	10	4
煤	4	8

煤的價(jià)格為400元/噸，生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品除需原料費(fèi)用外，還需其他費(fèi)用400元，甲產(chǎn)品每噸售價(jià)4600元；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品除原料費(fèi)用外，還需其他費(fèi)用500元，乙產(chǎn)品每噸售價(jià)5500元．現(xiàn)將該礦石原料全部用完，設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品m噸，公司獲得的總利潤為y元．

(1)寫出m與x的關(guān)系式；

(2)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．(不要求寫自變量的取值范圍)

解析：(1)因?yàn)榈V石的總量一定，當(dāng)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品的數(shù)量x變化時，那么乙產(chǎn)品的產(chǎn)量m將隨之變化，m和x是動態(tài)變化的兩個量；(2)題目中的等量關(guān)系為總利潤y＝甲產(chǎn)品的利潤＋乙產(chǎn)品的利潤．