任意角教學設計（2）

學生在初中學習了～，但是現(xiàn)實生活中隨處可見超出～范圍的角.例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體”，且主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致.因此為了準確描述這些現(xiàn)象，本節(jié)課主要就旋轉(zhuǎn)度數(shù)和旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑母拍钸M行推廣.

課程目標

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義．

3.掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：理解任意角的概念，能區(qū)分各類角；

2.邏輯推理：求區(qū)域角；

3.數(shù)學運算：會判斷象限角及終邊相同的角.

重點：理解象限角的概念及終邊相同的角的含義；

難點：掌握判斷象限角及表示終邊相同的角的方法．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

初中對角的定義是：射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到～范圍內(nèi)的角.但是現(xiàn)實生活中隨處可見超出～范圍的角.例如體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體”，且主動輪和被動輪的旋轉(zhuǎn)方向不一致.請學生思考，如何定義角才能解決這些問題呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本168-170頁，思考并完成以下問題

1．角的概念推廣后，分類的標準是什么？

2．如何判斷角所在的象限？

3．終邊相同的角一定相等嗎？如何表示終邊相同的角？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條 射線 繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn) 到另一個位置所成的 圖形 ．

(2)角的表示

如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．

(3)角的分類

按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類：

2．象限角

在平面直角坐標系中，若角的頂點與原點 重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，那么，角的 終邊 在第幾象限，就說這個角是第幾 象限角 ；如果角的終邊在坐標軸 上，就認為這個角不屬于任何一個象限．

3．終邊相同的角

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與 整數(shù)個周角 的和．

四、典例分析、舉一反三

題型一 任意角和象限角的概念

例1 (1)給出下列說法：

①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上)．

(2)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．

①420，②855，③－510.

【答案】（1）① （2）圖略，①420是第一象限角．②855是第二象限角．③－510是第三象限角．

【解析】(1)①銳角是大于0且小于90的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；

②－350角是第一象限角，但它是負角，所以②錯誤；

③0角是小于180的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯誤；

④360角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯誤．

(2) 作出各角的終邊，如圖所示：

由圖可知：

①420是第一象限角．

②855是第二象限角．

③－510是第三象限角．

解題技巧：（任意角和象限角的表示）

1．判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧．

(1)關(guān)鍵：正確的理解角的有關(guān)概念，如銳角、平角等；

(2)技巧：注意“旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負，旋轉(zhuǎn)幅度決定角的絕對值大?。?/p>

2．象限角的判定方法．

(1)圖示法：在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊的位置，確定象限．

(2)利用終邊相同的角：第一步，將α寫成α＝k360＋β(k∈Z，0≤β<360)的形式；

第二步，判斷β的終邊所在的象限；

第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．

跟蹤訓練一

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90的角}，則下面關(guān)系正確的是( )

A．A＝B＝C B．A?C

C．A∩C＝B D．B∪C?C

【答案】D

【解析】由已知得B C，所以B∪C?C，故D正確．

2．給出下列四個命題：①－75是第四象限角；②225是第三象限角；③475是第二象限角；④－315是第一象限角．其中正確的命題有( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【答案】D

【解析】－90＜－75＜0，180＜225＜270，

360＋90＜475＜360＋180，－315＝－360＋45且0＜45＜90.所以這四個命題都是正確的．

題型二 終邊相同的角的表示及應用

例2 (1)將－885化為k360＋α(0≤α＜360，k∈Z)的形式是________．

(2)寫出與α＝－910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720＜β＜360的元素β寫出來．

【答案】（1）(－3)360＋195， （2）終邊相同的角的集合為{β|β＝k360－910，k∈Z}，適合不等式－720＜β＜360的元素－550、－190、170.

【解析】(1)－885＝－1 080＋195＝(－3)360＋195.

(2)與α＝－910終邊相同的角的集合為{β|β＝k360－910，k∈Z}，

∵－720＜β＜360，即－720＜k360－910＜360，k∈Z，

∴k取1，2，3.

當k＝1時，β＝360－910＝－550；

當k＝2時，β＝2360－910＝－190；

當k＝3時，β＝3360－910＝170.

解題技巧：(終邊相同的角的表示)

1．在0到360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法

(1)一般地，可以將所給的角α化成k360＋β的形式(其中0≤β＜360，k∈Z)，其中β就是所求的角．

(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360的方式，直到所得結(jié)果達到所求為止．

2．運用終邊相同的角的注意點

所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k360＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點：

(1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k360與α之間用“＋”連接，如k360－30應看成k360＋(－30)，k∈Z.

(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍．

跟蹤訓練二

1.下面與－85012′終邊相同的角是( )

A．23012′ B．22948′

C．12948′ D．13012′

【答案】B

【解析】與－85012′終邊相同的角可表示為α＝－85012′＋k360(k∈Z)，當k＝3時，α＝－85012′＋1 080＝22948′.

2．寫出角α的終邊落在第二、四象限角平分線上的角的集合為________．

【答案】{α|α＝k180＋135，k∈Z}．

【解析】落在第二象限時，表示為k360＋135.落在第四象限時，表示為k360＋180＋135，故可合并為{α|α＝k180＋135，k∈Z}．

題型三 任意角終邊位置的確定和表示

例3(1)若α是第一象限角，則是( )

A．第一象限角B．第一、三象限角

C．第二象限角D．第二、四象限角

(2)已知，如圖所示．

①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；

②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．

【答案】(1)B (2) ①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝135＋k360，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30＋k360，k∈Z}．

②故該區(qū)域可表示為{γ|－30＋k360≤γ≤135＋k360，k∈Z}．

【解析】(1) 因為α是第一象限角，所以k360＜α＜k360＋90，k∈Z，所以k180＜＜k180＋45，k∈Z，當k為偶數(shù)時，為第一象限角；當k為奇數(shù)時，為第三象限角．所以是第一、三象限角．

(2) ①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90＋45＋k360，k∈Z}＝{α|α＝135＋k360，k∈Z}；

終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30＋k360，k∈Z}．

②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30，135]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示

為{γ|－30＋k360≤γ≤135＋k360，k∈Z}．

解題技巧：（任意角終邊位置的確定和表示）

1．表示區(qū)間角的三個步驟：

第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360～360范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α

第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．

提醒：表示區(qū)間角時要注意實線邊界與虛線邊界的差異．

2．或所在象限的判斷方法：

(1)用不等式表示出角或的范圍；

(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點確定角或所在象限．

跟蹤訓練三

1．如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示？