任意角教學(xué)設(shè)計(jì)（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.了解任意角的概念；

B.掌握正角、負(fù)角、零角及象限角的定義，理解任意角的概念；

C.掌握終邊相同的角的表示方法；

D.會判斷角所在的象限。

1.數(shù)學(xué)抽象：角的概念；

2.邏輯推理：象限角的表示；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷角所在象限；

4.直觀想象：從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

1. 初中學(xué)過角的概念，范圍是多大?

【答案】有公共端點(diǎn)的兩射線組成的幾何圖形叫角.

角的范圍：0～360。

二、探索新知

（一）角的概念

1.思考：

（1）.體操中有轉(zhuǎn)體兩周或轉(zhuǎn)體兩周半，如何度量這些角度呢？

（2）.經(jīng)過1小時(shí)，秒針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？

（3）.在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60所形成的角，與按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60所形成的角是否相等？

2.角的概念：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.

3.角的構(gòu)成要素：終邊、始邊、頂點(diǎn)。

4.規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.

這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.

【解析】

6.

7、把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反數(shù)。

。

（二）、象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

思考2: 如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50，405，210, -200，-450分別是第幾象限的角？

【解析】

第四象限角 第一象限角 第三象限角

第二象限角 軸線角

思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？

【解析】象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.

（三）、終邊相同的角

思考1： -32，328，-392是第幾象限的角？ 這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？

【解析】都是第四象限角，這些角相差3600的整數(shù)倍數(shù)。

思考２：所有與-32角終邊相同的角，連同-32角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

【解析】

思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

【解析】S={β|β=α＋k360，k∈Z}，

即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.

例1. 在0～360范圍內(nèi)，找出與-95012′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

【解析】所以在范圍內(nèi)，與所以它是第二象限角。

思考4：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？

【解析】x軸正半軸：α= k360，k∈Z ；

x軸負(fù)半軸：α= 180＋k360，k∈Z ；

y軸正半軸：α= 90＋k360，k∈Z ；

y軸負(fù)半軸：α= 270＋k360，k∈Z 。

例2. 寫出終邊在y軸上的角的集合.

解：在0～360范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90，270角（如圖）.因此，所有與90角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90+k360.k∈Z}.

而所有與270角終邊相同的角構(gòu)成集合

S2={β|β=270+k360.k∈Z}.

于是，終邊在y軸上的角的集合

S=S1∪S2

={β|β=90+2k180，k∈Z }∪{β|β=90+180+2k180，k∈Z }

={β|β=90+2k180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）180，k∈Z }

={β|β=90+n180，n∈Z }

例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤α＜720的元素β寫出來.

【解析】S={β|β=45+k180,k∈Z}.

S中適合不等式-360≤β<720的元素有：

-315，-135,45,225,405,585.

通過復(fù)習(xí)初中角的概念，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。

通過思考引入角的概念，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。

通過畫正角、負(fù)角，讓學(xué)生進(jìn)一步理解任意角的概念，提高學(xué)生分析問題、概括能力。

通過思考，讓學(xué)生理解象限角的概念，提高學(xué)生解決問題的能力。

通過思考，進(jìn)一步理解象限角的概念，提高學(xué)生解決問題的能力。

通過思考，讓學(xué)生觀察終邊相同的角之間的關(guān)系，提高學(xué)生的觀察、概括能力。

通過例題的講解讓學(xué)生進(jìn)一步理解終邊相同的角，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90的角}，則下面關(guān)系正確的是( )

A．A＝B＝C B．A?C

C．A∩C＝B D．B∪C?C

【答案】D

【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．

2．下列各個(gè)角中與2 019終邊相同的是( )

A．－149 B．679

C．319 D．219

【答案】D

【解析】因?yàn)? 019＝3605＋219，所以與2 019終邊相同的角是219.

3．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．

【答案】{α|k360＋45＜α＜k360＋150，k∈Z}

【解析】觀察圖形可知，角α的集合是{α|k360＋45＜α＜k360＋150，k∈Z}．

4．在0到360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：

(1)－120；(2)640.

【解析】 (1)與－120終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120＋k360，k∈Z}．

當(dāng)k＝1時(shí)，β＝－120＋1360＝240，

∴在0到360范圍內(nèi)，與－120終邊相同的角是240，它是第三象限的角．

(2)與640終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640＋k360，k∈Z}．

當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝640－360＝280，

∴在0到360范圍內(nèi)，與640終邊相同的角為280，它是第四象限的角．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。