圓周角和圓心角的關系教案

1．理解圓周角的概念，掌握圓周角的兩個特征、定理的內(nèi)容及簡單應用；(重點)

2．能運用圓周角定理及其推論進行簡單的證明計算．(難點)

一、情境導入

在下圖中，當球員在B, D, E處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關系？

課件教案

二、合作探究

探究點：圓周角定理及其推論

【類型一】利用圓周角定理求角的度數(shù)

如圖，已知CD是⊙O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA，若∠D的度數(shù)是50，則∠C的度數(shù)是()

A．25 B．30 C．40 D．50

解析：∵OA∥DE，∠D＝50，∴∠AOD＝50.∵∠C＝∠AOD，∴∠C＝50＝25.故選A.

方法總結(jié)：解決問題的關鍵是熟練掌握圓周角定理．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題

【類型二】利用圓周角定理的推論求角的度數(shù)

如圖，在⊙O中，＝，∠A＝30，則∠B＝()

A．150 B．75

C．60 D．15

解析：因為＝，根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”得到∠B＝∠C，因為∠A＋∠B＋∠C＝180，所以∠A＋2∠B＝180，又因為∠A＝30，所以30＋2∠B＝180，解得∠B＝75.故選B.

方法總結(jié)：解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意方程思想的應用．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

【類型三】圓周角定理與垂徑定理的綜合

如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，E在⊙O上．

(1)∠AOD＝52，求∠DEB的度數(shù)；

(2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半徑．

解析：(1)由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的推論可求得＝，再由圓周角定理及其推論求∠DEB的度數(shù)；(2)首先設⊙O的半徑為x，然后由勾股定理得到方程解答．

解：(1)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝52＝26；

(2)設⊙O的半徑為x，則OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋()2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半徑為4.

方法總結(jié)：本題綜合考查了圓周角定理及其推論、垂徑定理以及勾股定理．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

【類型四】圓周角定理的推論與圓心角、弧、弦之間的關系的綜合

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點D在弧AB上，連接CD交AB于點E，點B是的中點，求證：∠B＝∠BEC.

解析：由點B是的中點，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性質(zhì)，證得結(jié)論．

證明：∵B是的中點，∴＝，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180－∠B－∠BCE，∠ACB＝180－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.

方法總結(jié)：此題考查了圓周角定理的推論以及等腰三角形的性質(zhì)．解答時一定要結(jié)合圖形．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題

【類型五】圓周角定理的推論與三角形知識的綜合

如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，且∠APC＝∠CPB＝60.連接AB、BC、AC.

(1)試判斷△ABC的形狀，并給予證明；

(2)求證：CP＝BP＋AP.

解析：(1)利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60，所以∠BAC＝∠ABC＝60，從而可判斷△ABC的形狀；(2)在PC上截取PD＝AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得．

(1)解：△ABC是等邊三角形．證明如下：在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是所對的圓周角，∠ABC與∠APC是所對的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60，∴∠ABC＝∠BAC＝60，∴△ABC為等邊三角形；

(2)證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD.又∵∠APC＝60，∴△APD是等邊三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60，即∠ADC＝120.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.

方法總結(jié)：本題考查了圓周角定理的理論以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．

【類型六】圓周角定理的推論與相似三角形的綜合

如圖，點E是的中點，點A在⊙O上，AE交BC于D.求證：BE2＝AEDE.