圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形教案

1．掌握?qǐng)A周角和直徑的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用解決問題；(重點(diǎn))

2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？

如圖②所示，甲隊(duì)員在圓心O處，乙隊(duì)員在圓上C處，丙隊(duì)員帶球突破防守到圓上C處，依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：圓周角和直徑的關(guān)系

【類型一】利用直徑所對(duì)的圓周角是直角求角的度數(shù)

如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30，則∠A的度數(shù)為()

A．30 B．45

C．60 D．75

解析：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90.∵∠CBD＝30，∴∠D＝60，∴∠A＝∠D＝60.故選C.

方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型二】作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題

如圖，點(diǎn)A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點(diǎn)C.若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點(diǎn)．

(1)試判斷AB、AC之間的大小關(guān)系，并給出證明；

(2)在上述題設(shè)條件下，當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，點(diǎn)E是否為AC的中點(diǎn)？為什么？

解析：(1)連接AD，先根據(jù)圓周角定理求出∠ADB＝90，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)判斷；(2)連接BE，根據(jù)圓周角定理求出∠AEB＝90，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解．

解：(1)AB＝AC.證明如下：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；

(2)當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，E是AC的中點(diǎn)．理由如下：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BEA＝90，即BE⊥AC.∵△ABC為正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中點(diǎn)．

方法總結(jié)：在解決圓的問題時(shí)，如果有直徑往往考慮作輔助線，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題

探究點(diǎn)二：圓內(nèi)接四邊形

【類型一】圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的運(yùn)用

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E是CB的延長線上一點(diǎn)，∠EBA＝125，則∠D＝()

A．65 B．120 C．125 D．130

解析：∵∠EBA＝125，∴∠ABC＝180－125＝55.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180，∴∠D＝180－55＝125.故選C.

方法總結(jié)：解決問題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)這一性質(zhì)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題

【類型二】圓內(nèi)接四邊形與圓周角的綜合

如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120，那么∠BCD是()

A．120 B．100

C．80 D．60

解析：∵∠BOD＝120，∴∠A＝60，∴∠C＝180－60＝120，故選A.

方法總結(jié)：解決問題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓周角的性質(zhì)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型三】圓內(nèi)接四邊形與垂徑定理的綜合

如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.

解析：利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠FGD＝∠ACD，然后根據(jù)垂徑定理推知AB是CD的垂直平分線，則∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.

證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.

方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)．

【類型四】圓內(nèi)接四邊形、圓周角、相似三角形和三角函數(shù)的綜合

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，AC、BD交于點(diǎn)E.

(1)求證：△CBE∽△CAB；

(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

解析：(1)利用圓周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得出兩三角形相似，直接證明即可；(2)利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)得出答案．

(1)證明：∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE與△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；