圓內接正多邊形教案

1．了解圓內接正多邊形的有關概念；(重點)

2．理解并掌握圓內接正多邊形的半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系；(重點)

3．掌握圓內接正多邊形的畫法．(難點)

一、情境導入

這些美麗的圖案，都是在日常生活中我們經常能看到的．你能從這些圖案中找出正多邊形來嗎？

課件教案

二、合作探究

探究點：圓內接正多邊形

【類型一】圓內接正多邊形的相關計算

已知正六邊形的邊心距為，求正六邊形的內角、外角、中心角、半徑、邊長、周長和面積．

解析：根據(jù)題意畫出圖形，可得△OBC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質，求得OB的長，繼而求得正六邊形的周長和面積．

解：如圖，連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝360＝60，∴中心角是60.∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝，sin∠OBC＝＝，∴OB＝BC＝2.∴內角為＝120，外角為60，周長為26＝12，S正六邊形ABCDEF＝6S△OBC＝62＝6.

方法總結：圓內接正六邊形是一個比較特殊的正多邊形，它的半徑等于邊長，對于它的計算要熟練掌握．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第11題

【類型二】圓內接正多邊形的畫法

如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圓心角是120度的角；尺規(guī)作圖法：先將圓六等分，然后再每兩份合并成一份，將圓三等分．

解：方法一：(1)用量角器畫圓心角∠AOB＝120，∠BOC＝120；

(2)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內接正三角形．

方法二：(1)用量角器畫圓心角∠BOC＝120；

(2)在⊙O上用圓規(guī)截?。?；

(3)連接AC，BC，AB，則△ABC為圓內接正三角形．

方法三：(1)作直徑AD；

(2)以D為圓心，以OA長為半徑畫弧，交⊙O于B，C；

(3)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內接正三角形．

方法四：(1)作直徑AE；

(2)分別以A，E為圓心，OA長為半徑畫弧與⊙O分別交于點D，F(xiàn)，B，C；

(3)連接AB，BC，CA(或連接EF，ED，DF)，則△ABC(或△EFD)為圓內接正三角形．

方法總結：解決正多邊形的作圖問題，通?？梢允褂玫姆椒ㄓ袃纱箢悾憾攘糠?、尺規(guī)作圖法；其中度量法可以畫出任意的多邊形，而尺規(guī)作圖只能作出一些特殊的正多邊形，如邊數(shù)是3、4的整數(shù)倍的正多邊形．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題

【類型三】正多邊形外接圓與內切圓的綜合

如圖，已知正三角形的邊長為2a.

(1)求它的內切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積；

(2)根據(jù)計算結果，要求圓環(huán)的面積，只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積？

(3)將條件中的“正三角形”改為“正方形”、“正六邊形”你能得出怎樣的結論？

(4)已知正n邊形的邊長為2a，請寫出它的內切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積．

解析：正多邊形的邊心距、半徑、邊長的一半正好構成直角三角形，根據(jù)勾股定理就可以求解．

解：(1)設正三角形ABC的中心為O，BC切⊙O于點D，連接OB、OD，則OD⊥BC，BD＝DC＝a.則S圓環(huán)＝πOB2－πOD2＝πOB2－OD2＝πBD2＝πa2；

(2)只需測出弦BC(或AC，AB)的長；

(3)結果一樣，即S圓環(huán)＝πa2；

(4)S圓環(huán)＝πa2.

方法總結：正多邊形的計算，一般是過中心作邊的垂線，連接半徑，把內切圓半徑、外接圓半徑、邊心距，中心角之間的計算轉化為解直角三角形．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題

【類型四】圓內接正多邊形的實際運用

如圖①，有一個寶塔，它的地基邊緣是周長為26m的正五邊形ABCDE(如圖②)，點O為中心(下列各題結果精確到0.1m)．

(1)求地基的中心到邊緣的距離；

(2)已知塔的墻體寬為1m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6m的觀光通道，問塑像底座的半徑最大是多少？

解析：(1)構造一個由正多邊形的邊心距、半邊和半徑組成的直角三角形．根據(jù)正五邊形的性質得到半邊所對的角是＝36，再根據(jù)題意中的周長求得該正五邊形的半邊是2610＝2.6，最后由該角的正切值進行求解；(2)根據(jù)(1)中的結論，塔的墻體寬為1m和最窄處為1.6m的觀光通道，進行計算．