指數函數的圖像和性質教學設計（2）

本節(jié)課在已學指數函數的概念，接著研究指數函數的圖像和性質，從而深化學生對指數函數的理解，并且了解較為全面的研究函數的方法，為以后在研究對數函數冪函數等其它函數打下基礎。另外，我們日常生活中的很多方面都涉及到了指數函數的知識，例如細胞分裂，放射性物質衰變，貸款利率等，所以學習這一節(jié)具有很大的現實價值。

課程目標

1、掌握指數函數的圖象和性質，培養(yǎng)學生實際應用函數的能力；

2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結指數函數的性質；

3、在指數函數的學習過程中,體驗數學的科學價值并養(yǎng)成勇于探索的良好習慣.

數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：指數函數的圖像與性質；

2.邏輯推理：圖像平移問題；

3.數學運算：求函數的定義域與值域；

4.數據分析：利用指數函數的性質比較兩個函數值的大小：

5.數學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數形結合思想總結指數函數性質.

重點：指數函數的圖象和性質；

難點：對底數的分類，如何由圖象、解析式歸納指數函數的性質．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

請學生用三點畫圖法畫圖像，觀察兩個函數圖像猜測指數函數有哪些性質？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、 預習課本，引入新課

閱讀課本116-117頁，思考并完成以下問題

1. 結合指數函數的圖象，可歸納出指數函數具有哪些性質？

2. 指數函數的圖象過哪個定點？如何求指數型函數的定義域和值域問題？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1、指數函數的圖象和性質

四、典例分析、舉一反三

題型一 指數函數的圖象問題

題點一：指數型函數過定點問題

例1函數y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的圖象過定點________．

【答案】(3,4)

【解析】因為指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(0,1)，所以在函數y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時y＝1＋3＝4，即函數y＝ax－3＋3的圖象過定點(3,4)．

題點二：指數型函數圖象中數據判斷例2函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是( )

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0

【答案】D

【解析】從曲線的變化趨勢，可以得到函數f(x)為減函數，從而有0＜a＜1；從曲線位置看，是由函數y＝ax(0＜a＜1)的圖象向左平移|－b|個單位長度得到，所以－b＞0，即b＜0.

題點三：作指數型函數的圖象

例3畫出下列函數的圖象，并說明它們是由函數f(x)＝2x的圖象經過怎樣的變換得到的．

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.

【答案】見解析

【解析】如圖．(1)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位

長度得到的；

(2)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關于x軸對稱．

解題技巧：（指數函數的圖像問題）

1.指數函數在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系:在y軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在y軸左側,圖象從上到下相應的底數由小變大.

無論指數函數的底數a如何變化,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點的縱坐標即為底數,由此可得底數的大小.

2.因為函數y=ax的圖象恒過點(0,1),所以對于函數f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).

3.指數函數y=ax與y=(a>0,且a≠1)的圖象關于y軸對稱.

4.處理函數圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點;二是利用圖象的變換;三是利用函數的奇偶性與單調性.

跟蹤訓練一

1、如圖是指數函數:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關系是( )

A.a

C.1

2、已知函數f(x)=ax+1+3的圖象一定過點P,則點P的坐標是 .

3、函數y= 的圖象有什么特征?你能根據圖象指出其值域和單調區(qū)間嗎?

【答案】1. B 2. (-1,4) 3. 原函數的圖象關于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調遞增區(qū)間是(-∞,0],單調遞減區(qū)間是(0,+∞).

【解析】1、解析:(方法一)①②中函數的底數小于1且大于0,在y軸右邊,底數越小,圖象

向下越靠近x軸,故有b

圖象向上越靠近y軸,故有d

(方法二)作直線x=1,與函數①,②,③,④的圖象分別交于A,B,C,D四點,

將x=1代入各個函數可得函數值等于底數值,

所以交點的縱坐標越大,則對應函數的底數越大.

由圖可知b

答案:B

2、解析:∵當x+1=0,即x=-1時,f(x)=a0+3=4恒成立,故函數f(x)=ax+1+3恒過(-1,4)點.

3、解:∵y=

∴其圖象由y=(x≥0)和y=2x(x<0)的圖象合并而成.

而y=(x>0)和y=2x(x<0)的圖象關于y軸對稱,所以原函數的圖象關于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調遞增區(qū)間是(-∞,0],單調遞減區(qū)間是(0,+∞).

題型二 指數函數的性質及其應用

題點一：比較兩個函數值的大小

例4比較下列各題中兩個值的大小:

（1）

（2）

（3）1.70.3 與0.93.1

【答案】(1) 1.72.5<1.73 (2) （3）1.70.3 > 0.93.1

【解析】(1)(單調性法)由于的底數是1.7,故構造函數y=1.7x,而函數y=1.7x在R上是

增函數.又2.5<3,∴1.72.5<1.73

(2)(單調性法)由于的底數是0.8,故構造函數y=0.8x,而函數y=0.8x在R上是減函數.又，所以

（3）(中間量法)由指數函數的性質,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,則1.70.3 > 0.93.1

題點二：指數函數的定義域與值域問題

例5求下列函數的定義域與值域

(1)y=; (2)y=

【答案】(1)定義域為{x|x∈R,且x≠4},值域為(0,1)∪(1,+∞).

(2)定義域為R,值域為[1,+∞).

【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,

∴函數的定義域為{x|x∈R,且x≠4}.∵≠0,∴≠1.∴y=的值域為(0,1)∪(1,+∞).

（2）函數的定義域為R.∵|x|≥0,∴y==1.

故y=的值域為[1,+∞).

解題技巧：（指數函數的性質及其應用）

1.函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域、值域:

(1)定義域的求法.函數y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同.

(2)函數y=af(x)的值域的求法如下.

①換元,令t=f(x);

②求t=f(x)的定義域x∈D;

③求t=f(x)的值域t∈M;

④利用y=at的單調性求y=at(t∈M)的值域.

2.比較冪的大小的常用方法:

跟蹤訓練二

1、比較下面兩個數的大小:

(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).

2、比較下列各題中兩個值的大小:

①2.53,2.55.7;

②1.5-7,;

③2.3-0.28,0.67-3.1.

【答案】1.當a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當1(a-1)2.4.

2.①2.53<2.55.7. .②1.5-7>. ③ 2.3-0.28<0.67-3.1.

【解析】1、因為a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,

若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.

若0(a-1)2.4.