圓的對(duì)稱性教案

1．理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性；(重點(diǎn))

2．掌握圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理；(重點(diǎn))

3．能應(yīng)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

我們知道圓是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度，它都能與自身重合，對(duì)稱中心即為其圓心．將圖中的扇形AOB(陰影部分)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，畫出旋轉(zhuǎn)之后的圖形，比較前后兩個(gè)圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

二、合作探究

探究點(diǎn)：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系

【類型一】利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明線段相等

如圖，M為⊙O上一點(diǎn)，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求證：MD＝ME.

解析：連接MO，根據(jù)等弧對(duì)等圓心角，則∠MOD＝∠MOE，再由角平分線的性質(zhì)，得出MD＝ME.

證明：連接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE，又∵M(jìn)D⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.

方法總結(jié)：圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理可以用來證明線段相等．本題考查了等弧對(duì)等圓心角，以及角平分線的性質(zhì)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題

【類型二】利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明弧相等

如圖，在⊙O中，AB、CD是直徑，CE∥AB且交圓于E，求證：＝.

解析：首先連接OE，由CE∥AB，可證得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，繼而證得∠DOB＝∠BOE，則可證得＝.

證明：連接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴＝.

方法總結(jié)：此類題主要運(yùn)用了圓心角與弧的關(guān)系以及平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

【類型三】綜合運(yùn)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝36，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.求、的度數(shù)．

解析：連接CD，由直角三角形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形及三角形內(nèi)角和定理分別求出∠ACD及∠DCE的度數(shù)，由圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得出、的度數(shù)．

解：連接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36，∴∠A＝90－36＝54.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54，∴∠ACD＝180－∠A－∠ADC＝180－54－54＝72，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90－72＝18.∵∠ACD、∠BCD分別是，所對(duì)的圓心角，∴的度數(shù)為72，的度數(shù)為18.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型四】有關(guān)圓心角、弧、弦之間關(guān)系的探究性問題

如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝30，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心O不重合)，

直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q.是否存在點(diǎn)P，使得QP＝QO？若存在，求出相應(yīng)的∠OCP的大??；若不存在，請簡要說明理由．

解析：點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段OA有三種位置關(guān)系：點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)P在OA的延長線上，點(diǎn)P在OA的反向延長線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．

解：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上(如圖①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180，即(∠OCP＋30)＋(∠OCP＋30)＋∠OCP＝180，整理得3∠OCP＝120，∴∠OCP＝40；

當(dāng)P在線段OA的延長線上(如圖②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180－∠QOC)＝90－∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180－∠OQP)＝45＋∠QOC.在△OQP中，30＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180，∴30＋∠QOC＋90－∠QOC＋45＋∠QOC＝180，∴∠QOC＝20，則∠OQP＝80，∴∠OCP＝100；

當(dāng)P在線段OA的反向延長線上(如圖③)，∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝(180－∠COQ)＝90－∠COQ.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ＝∠OQC＝45－∠COQ.∵∠AOC＝30，∴∠COQ＋∠POQ＝150，∴∠COQ＋45－∠COQ＝150，∴∠COQ＝140，∴∠OCP＝(180－140)＝20.