圓的對稱性教案

1．理解圓的旋轉不變性；(重點)

2．掌握圓心角、弧、弦之間相等關系的定理；(重點)

3．能應用圓心角、弧、弦之間的關系解決問題．(難點)

一、情境導入

我們知道圓是一個旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋轉多少度，它都能與自身重合，對稱中心即為其圓心．將圖中的扇形AOB(陰影部分)繞點O逆時針旋轉某個角度，畫出旋轉之后的圖形，比較前后兩個圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

二、合作探究

探究點：圓心角、弧、弦之間的關系

【類型一】利用圓心角、弧、弦之間的關系證明線段相等

如圖，M為⊙O上一點，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求證：MD＝ME.

解析：連接MO，根據等弧對等圓心角，則∠MOD＝∠MOE，再由角平分線的性質，得出MD＝ME.

證明：連接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.

方法總結：圓心角、弧、弦之間相等關系的定理可以用來證明線段相等．本題考查了等弧對等圓心角，以及角平分線的性質．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

【類型二】利用圓心角、弧、弦之間的關系證明弧相等

如圖，在⊙O中，AB、CD是直徑，CE∥AB且交圓于E，求證：＝.

解析：首先連接OE，由CE∥AB，可證得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，繼而證得∠DOB＝∠BOE，則可證得＝.

證明：連接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴＝.

方法總結：此類題主要運用了圓心角與弧的關系以及平行線的性質．注意掌握輔助線的作法及數形結合思想的應用．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題

【類型三】綜合運用圓心角、弧、弦之間的關系進行計算

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝36，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E.求、的度數．

解析：連接CD，由直角三角形的性質求出∠A的度數，再根據等腰三角形及三角形內角和定理分別求出∠ACD及∠DCE的度數，由圓心角、弧、弦的關系即可得出、的度數．

解：連接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36，∴∠A＝90－36＝54.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54，∴∠ACD＝180－∠A－∠ADC＝180－54－54＝72，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90－72＝18.∵∠ACD、∠BCD分別是，所對的圓心角，∴的度數為72，的度數為18.

方法總結：解決本題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出等腰三角形．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

【類型四】有關圓心角、弧、弦之間關系的探究性問題

如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30，點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合)，

直線CP與⊙O相交于點Q.是否存在點P，使得QP＝QO？若存在，求出相應的∠OCP的大小；若不存在，請簡要說明理由．

解析：點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段OA有三種位置關系：點P在線段OA上，點P在OA的延長線上，點P在OA的反向延長線上．分這三種情況進行討論即可．

解：當點P在線段OA上(如圖①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180，即(∠OCP＋30)＋(∠OCP＋30)＋∠OCP＝180，整理得3∠OCP＝120，∴∠OCP＝40；

當P在線段OA的延長線上(如圖②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180－∠QOC)＝90－∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180－∠OQP)＝45＋∠QOC.在△OQP中，30＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180，∴30＋∠QOC＋90－∠QOC＋45＋∠QOC＝180，∴∠QOC＝20，則∠OQP＝80，∴∠OCP＝100；

當P在線段OA的反向延長線上(如圖③)，∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝(180－∠COQ)＝90－∠COQ.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ＝∠OQC＝45－∠COQ.∵∠AOC＝30，∴∠COQ＋∠POQ＝150，∴∠COQ＋45－∠COQ＝150，∴∠COQ＝140，∴∠OCP＝(180－140)＝20.