直線的點(diǎn)斜式方程教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

笛卡爾出生于法國，畢業(yè)于普瓦捷大學(xué)，法國著名哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，被黑格爾稱為“近代哲學(xué)之父”。 在笛卡爾之前，幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個不同的研究領(lǐng)域。他站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認(rèn)為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當(dāng)時流行的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。

笛卡爾的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了“解析幾何學(xué)”。我們知道給定一點(diǎn)和一個方向可以唯一確定一條直線，這樣，在平面直角坐標(biāo)系中給定一個點(diǎn)和斜率就能唯一確定一條直線，也就是說這條直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系是完全確定的，那么這一關(guān)系如何表示呢？

二、探究新知

在平面直角坐標(biāo)系中,直線l過點(diǎn)P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直線l上不同于P的任意一點(diǎn),如圖所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐標(biāo)來表示直線l的斜率=2,即得方程y=2x+3.這表明直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足y=2x+3.那么滿足方程y=2x+3的每一組(x,y)所對應(yīng)的點(diǎn)也都在直線l上嗎?

一、直線的點(diǎn)斜式方程

點(diǎn)睛1.點(diǎn)斜式應(yīng)用的前提是直線的斜率存在,若斜率不存在,則不能應(yīng)用此式.

2.點(diǎn)斜式方程中的點(diǎn)只要是這條直線上的點(diǎn),哪一個都可以.

3.當(dāng)直線與x軸平行或重合時,方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸的方程是y=0;當(dāng)直線與y軸平行或重合時,不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時可將方程寫成x=x0.特別地,y軸的方程是x=0.

1.直線l的點(diǎn)斜式方程是y-2=3(x+1),則直線l的斜率是( )

A.2 B.-1 C.3 D.-3

答案:C

2.方程k=與y-y0=k(x-x0)一樣嗎?

答案:不一樣.后者表示過點(diǎn)(x0,y0)且斜率為k的一條直線,前者是這條直線上挖去了一個點(diǎn)(x0,y0).

二、直線的斜截式方程

點(diǎn)睛 1.直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特殊情況.

2.截距是一個實(shí)數(shù),它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)直線過原點(diǎn)時,它的橫截距和縱截距都為0.

3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和縱截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,縱截距為-1.

3.直線l的斜截式方程是y=-2x+3,則直線l在y軸上的截距為 .

答案:3

4.一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b與直線的斜截式方程y=kx+b有什么不同?

答案:一次函數(shù)的x的系數(shù)k≠0,否則就不是一次函數(shù)了;直線的斜截式方程y=kx+b中的k可以為0.

三、根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直

對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,

l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;

l1⊥l2?k1k2=-1.

點(diǎn)睛：兩直線的斜率之積為-1,則兩直線一定垂直;兩條直線的斜率相等,兩直線不一定平行,還可能重合.

5.已知直線l1:y=x+2與l2:y=-2ax+1平行,則a= .

解析:由l1∥l2,得-2a=1,所以a=-.答案:-

三、典例解析

例1求滿足下列條件的直線方程:

(1)經(jīng)過點(diǎn)(2,-3),傾斜角是直線y=x傾斜角的2倍;

(2)經(jīng)過點(diǎn)P(5,-2),且與y軸平行;

(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn).

思路分析:先求出直線的斜率,然后由點(diǎn)斜式寫出方程.

解:(1)∵直線y=x的斜率為,

∴傾斜角為30.

∴所求直線的傾斜角為60,其斜率為.

∴所求直線方程為y+3=(x-2),

即x-y-2-3=0.

(2)與y軸平行的直線,其斜率k不存在,不能用點(diǎn)斜式方程表示.

但直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5,

故直線方程可記為x=5.

(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn)的直線斜率kPQ==-1.

∵直線過點(diǎn)P(-2,3),

∴由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.

點(diǎn)斜式方程的求法

(1)求直線的點(diǎn)斜式方程,關(guān)鍵是求出直線的斜率,所以,已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的斜率或直線上兩點(diǎn)坐標(biāo),均可求出直線的方程.

(2)斜率不存在時,可直接寫出過點(diǎn)(x0,y0)的直線方程x=x0.

跟蹤訓(xùn)練1 直線l1的傾斜角為135,直線l2經(jīng)過點(diǎn)B(-1,4).求滿足下列條件的直線l2的方程.

(1)直線l2∥l1;

(2)直線l2⊥l1.

解:(1)由已知直線l1的斜率k1=tan 135=-1.

因?yàn)閘2∥l1,所以直線l2的斜率k2=k1=-1.

又直線l2經(jīng)過點(diǎn)B(-1,4),

代入點(diǎn)斜式方程得y-4=-1[x-(-1)],即y=-x+3.

(2)由已知直線l1的斜率k1=tan 135=-1.

因?yàn)閘2⊥l1,所以直線l2的斜率k2=-=1.

又直線l2經(jīng)過點(diǎn)B(-1,4),

代入點(diǎn)斜式方程得y-4=1[x-(-1)],即y=x+5.

例2 求滿足下列條件的直線方程:

(1)經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),且與直線y=3x-5垂直;

(2)與直線y=-2x+3平行,與直線y=4x-2在y軸上的截距相同.

思路分析:寫出直線的斜率及在y軸上的截距,用斜截式寫出直線方程.

解:(1)因?yàn)橹本€y=3x-5的斜率為3,且所求直線與該直線垂直,

所以所求直線斜率為-

又直線過點(diǎn)(0,-2),由直線方程的斜截式,得y=-,即x+3y+6=0.

(2)直線y=-2x+3的斜率為-2,直線y=4x-2在y軸上的截距為-2.

由題意知,所求直線的斜率為-2,在y軸上的截距也為-2.

由直線方程的斜截式,得y=-2x-2,即2x+y+2=0.

斜截式方程的求法

已知直線的斜率與y軸上的截距,可直接寫出直線的方程;已知直線的斜截式方程,可得直線的斜率與y軸上的截距.直線的斜截式方程形式簡單,特點(diǎn)明顯,是運(yùn)用較多的直線方程的形式之一.

跟蹤訓(xùn)練2 已知斜率為-的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6,求直線l的方程.

解:設(shè)l:y=-x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=b.

由題意,得|b|=6,

∴b2=16,∴b=4.

故直線l的方程為y=-x4.

通過對解析幾何創(chuàng)始人，數(shù)學(xué)家笛卡爾的介紹，讓學(xué)生初步體會坐標(biāo)法的思想方法，并提出問題，明確研究問題運(yùn)用方程思想，求解直線點(diǎn)斜式方程。

由坐標(biāo)系中的直線，讓學(xué)生理解已知直線兩個要素，建立直線方程的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對利用點(diǎn)斜式和斜截式求解直線方程的方法，提升運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓理解運(yùn)用直線點(diǎn)斜式和斜截式方程的方法，提升推理論證能力，進(jìn)一步體會坐標(biāo)法解決問題的基本思想。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則( )

A．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1,2)，斜率為－1

B．直線經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)，斜率為－1

C．直線經(jīng)過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1

D．直線經(jīng)過點(diǎn)(－2，－1)，斜率為1

【答案】C [方程可化為y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直線過點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1.選C.]

2．直線y＝(x－)的斜率與在y軸上的截距分別是( )

A．， B．，－3 C．，3 D．－，－3

【答案】B [由直線方程知直線斜率為，令x＝0可得在y軸上的截距為y＝－3.故選B.]

3．已知直線l1過點(diǎn)P(2,1)且與直線l2：y＝x＋1垂直，則l1的點(diǎn)斜式方程為________．

【答案】y－1＝－(x－2) [直線l2的斜率k2＝1，故l1的斜率為－1，所以l1的點(diǎn)斜式方程為y－1＝－(x－2)．]

4．已知兩條直線y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，則a＝________.

【答案】1 [由題意得a＝2－a，解得a＝1.]

5.無論k取何值,直線y-2=k(x+1)所過的定點(diǎn)是 .

【答案】(-1,2)

6．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,4)，它的傾斜角是直線y＝x＋的傾斜角的2倍，求直線l的點(diǎn)斜式方程．

【答案】直線y＝x＋的斜率k＝，

則其傾斜角α＝60，所以直線l的傾斜角為120.

以直線l的斜率為k′＝tan 120＝－.

所以直線l的點(diǎn)斜式方程為y－4＝－(x－3)．

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。