直線的兩點(diǎn)式方程教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

我們知道在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素：點(diǎn)和傾斜角（斜率），即已知直線上的一點(diǎn)和直線的斜率可以確定一條直線，或已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線。

這樣，在直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)p0(x0,y0)和斜率k,可得出直線方程。若給定直線上兩點(diǎn)p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直線的方程呢?

二、探究新知

1．直線的兩點(diǎn)式方程

(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義 ________________就是經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程，我們把它叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．

＝

點(diǎn)睛：1.當(dāng)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線斜率不存在(x1=x2)或斜率為0(y1=y2)時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示,即兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線.

2.對(duì)于兩點(diǎn)式中的兩個(gè)點(diǎn),只要是直線上的兩個(gè)點(diǎn)即可;另外,兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān),如直線過點(diǎn)P1(1,1),P2(2,3),由兩點(diǎn)

式可得,也可以寫成

1. 把由直線上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)得到的直線方程化為整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)還有限制條件嗎?

答案:這個(gè)方程對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)沒有限制,即它可以表示過任意兩點(diǎn)的直線方程.

2.已知直線l過點(diǎn)A(3,1),B(2,0),則直線l的方程為 .

解析:由兩點(diǎn)式,得,化簡(jiǎn)得x-y-2=0.

答案:x-y-2=0

二、直線的截距式方程

點(diǎn)睛：直線的截距式方程是直線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長(zhǎng)問題時(shí)非常方便.

3．在x，y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是( )

A．＋＝1 B．＋＝1

C．－＝1 D．＋＝1

答案A

解析：由截距式方程知直線方程為＋＝1.選A.

4.直線=1(ab≠0)在y軸上的截距是( )

A.a2 B.b2 C.-b2 D.|b|

答案:C

解析:原直線方程化為截距式方程為=1,故在y軸上的截距是-b2.

三、典例解析

例1 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:

(1)BC邊所在的直線方程;

(2)BC邊上中線所在的直線方程.

思路分析:已知直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以利用兩點(diǎn)式寫出直線的方程.

解:(1)直線BC過點(diǎn)B(0,-3),C(-2,1),由兩點(diǎn)式方程得,化簡(jiǎn)得2x+y+3=0.

(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為,

即D(-1,-1).

又直線AD過點(diǎn)A(-4,0),由兩點(diǎn)式方程得,

化簡(jiǎn)得x+3y+4=0.

延伸探究例1已知條件不變,求:

(1)AC邊所在的直線方程;

(2)AC邊上中線所在的直線方程.

解:(1)由兩點(diǎn)式方程,得,

化簡(jiǎn)得x-2y+4=0.

(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得AC邊的中點(diǎn)E(-3,),中線BE所在直線的方程為,

化簡(jiǎn)得7x+6y+18=0.

兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用

用兩點(diǎn)式方程寫出直線的方程時(shí),要特別注意橫坐標(biāo)相等或縱坐標(biāo)相等時(shí),不能用兩點(diǎn)式.已知直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo),也可先求出斜率,再利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

例2過點(diǎn)P(1,3),且與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程是( )

A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0

C.3x-y=0 D.x-3y+8=0

思路分析:設(shè)出直線的截距式方程,然后利用點(diǎn)P在直線上以及三角形的面積列出參數(shù)所滿足的條件,解方程求出參數(shù).

解析:設(shè)所求的直線方程為=1(a>0,b>0),

由于過點(diǎn)P(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積等于6,

因此有解得

故所求直線的方程為3x+y-6=0.

答案:A

總結(jié)歸納：在涉及直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的截距問題時(shí),常把直線方程設(shè)為截距式,由已知條件建立關(guān)于兩截距的方程,解得截距的值,從而確定方程.

訓(xùn)練跟蹤1 直線l過點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線l的方程.

解:由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,因此直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在且不過原點(diǎn),故可設(shè)為截距式直線方程.

設(shè)直線l的方程為=1,則a+b=12.①

又直線l過點(diǎn)(-3,4),

所以=1.②

由①②解得

故所求的直線方程為=1或=1,

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

跟蹤訓(xùn)練2將變式訓(xùn)練1中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12”改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等”,求直線l的方程.

解:設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距分別為a,b.

(1)當(dāng)a≠0,b≠0時(shí),

設(shè)l的方程為=1,

因?yàn)辄c(diǎn)(-3,4)在直線上,所以=1.

若a=b,則a=b=1,直線方程為x+y-1=0;

若a=-b,則a=-7,b=7,直線方程為x-y+7=0.

(2)當(dāng)a=b=0時(shí),直線過原點(diǎn),且過(-3,4),所以直線方程為4x+3y=0.

綜上所述,所求直線方程為:

x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.

金題典例 如圖,某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90,今欲在該荒地上劃出一塊長(zhǎng)方形地面(不改變方位)進(jìn)行開發(fā).問如何設(shè)計(jì)才能使開發(fā)的面積最大?最大開發(fā)面積是多少?

思路分析將問題轉(zhuǎn)化為在線段AB上求一點(diǎn)P,使矩形面積最大,根據(jù)圖形特征,可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出AB的方程.這里設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

解:以BC所在直線為x軸,AE所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),由已知可得A(0,60),B(90,0),

∴AB所在直線的方程為=1,即y=60(1-).

∴y=60-x.從而可設(shè)P(x,60-x),其中0≤x≤90,

∴所開發(fā)部分的面積為S=(300-x)(240-y).

故S=(300-x)(240-60+x)=-x2+20x+54 000(0≤x≤90),

∴當(dāng)x=-=15,且y=60-15=50時(shí),

S取最大值為-152+2015+54 000=54 150(m2).

因此點(diǎn)P距AE 15 m,距BC 50 m時(shí)所開發(fā)的面積最大,

最大面積為54 150 m2

歸納總結(jié) 二次函數(shù)最值問題,一方面要看頂點(diǎn)位置,另一方面還要看定義域的范圍.結(jié)合圖形求解,有時(shí)并非在頂點(diǎn)處取得最值.

通過對(duì)直線幾何要素及點(diǎn)斜式方程的回顧，提出問題，讓學(xué)生初步體會(huì)坐標(biāo)法的思想方法，并提出問題，明確研究問題運(yùn)用方程思想，求解直線兩點(diǎn)=點(diǎn)式方程。

由坐標(biāo)系中的直線，讓學(xué)生理解已知直線兩個(gè)要素，建立直線方程的過程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生加深對(duì)利用兩點(diǎn)式和截距式求解直線方程的方法，提升運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進(jìn)一步讓理解運(yùn)用兩點(diǎn)式和截距式方程的方法，并能合理選擇直線的方程形式，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法解決問題的基本思想。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.過P1(2,0),P2(0,3)兩點(diǎn)的直線方程是( )

A.=0 B.=0

C.=1 D.=1

解析:由截距式,得所求直線的方程為=1.

答案:C

2.已知△ABC三頂點(diǎn)A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),則中位線MN所在的直線方程為( )

A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0

C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0

解析:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),由兩點(diǎn)式方程

得,即2x+y-8=0.

答案:A

3．過點(diǎn)P(4，－3)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線有( )

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

解析：①過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－x.②直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其方程為＋＝1，

∴＋＝1，∴a＝1.∴直線方程為x＋y－1＝0.

所以這樣的直線有2條，選B.

答案：B

4.若點(diǎn)P(3,m)在過點(diǎn)A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m= .

解析:由兩點(diǎn)式方程得,過A,B兩點(diǎn)的直線方程為,即x+y-1=0.又點(diǎn)P(3,m)在直線AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.

答案:-2

5.直線ax+by=1(ab≠0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 .

解析:直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為,所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.

答案:

6.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求三角形三邊所在直線的方程；

(2)求AC邊上的垂直平分線的方程．

解析(1)直線AB的方程為＝，整理得x＋y－4＝0；

直線BC的方程為＝，整理得x－y＋8＝0；

由截距式可知，直線AC的方程為＋＝1，整理得x－2y＋8＝0.

(2)線段AC的中點(diǎn)為D(－4,2)，直線AC的斜率為，

則AC邊上的垂直平分線的斜率為－2，

所以AC邊的垂直平分線的方程為y－2＝－2(x＋4)，

整理得2x＋y＋6＝0.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。