利用三角函數(shù)測高教案

1．經(jīng)歷運用儀器進行實地測量以及撰寫活動報告的過程，能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進行分析；(重點)

2．能綜合應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的知識解決實際問題．(難點)

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34，并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實際高度．你知道計算的方法嗎？

實際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計算旗桿的高度，而這一問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容．

二、合作探究

探究點：利用三角函數(shù)測高

【類型一】測量底部可以到達的物體的高度

如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60，眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，≈1.732)．

解析：由題意可得四邊形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根據(jù)tan∠AEC＝，即可求出AC的長．

解：∵BD＝CE＝6m，∠AEC＝60，∴AC＝CEtan60＝6≈61.732≈10.4(米)，∴AB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．

所以，旗桿AB的高度約為11.9米．

方法總結(jié)：本題借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解題．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第5題

【類型二】測量底部不可到達的物體的高度

如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少厘米(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732)?

解析：首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案．

解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G.∴四邊形BFDG矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30，∴CF＝BCsin30＝20＝10(cm)．在Rt△ABG中，∠BAG＝60，∴BG＝ABsin60＝30＝15(cm)．∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈37.98≈38.0(cm)．

所以，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.

方法總結(jié)：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第8題

【類型三】利用三角板測量物體的高度

如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離AB是1.7m，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測得旗桿頂端M仰角為45；小紅眼睛與地面的距離CD是1.5m，用同樣的方法測得旗桿頂端M的仰角為30.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)(點B、N、D在同一條直線上)．求出旗桿MN的高度(參考數(shù)據(jù)：≈1.7，結(jié)果保留整數(shù))．

解析：過點A作AE⊥MN于點E，過點C作CF⊥MN于點F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，設(shè)AE＝ME＝xm，根據(jù)三角函數(shù)列方程求出x的值即可求解．

解：過點A作AE⊥MN于點E，過點C作CF⊥MN于點F，則EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90，∠MAE＝45，∴AE＝ME.設(shè)AE＝ME＝xm，則MF＝(x＋0.2)m，F(xiàn)C＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90，∠MCF＝30，∴MF＝CFtan∠MCF，∴x＋0.2＝(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．

所以，旗桿MN的高度約為12米．

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)出未知數(shù)列出方程．

三、板書設(shè)計