三角函數(shù)的應(yīng)用教案

1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；(重點)

2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(難點)

一、情境導(dǎo)入

為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75.

你能求出車架檔AD的長嗎？

二、合作探究

探究點：三角函數(shù)的應(yīng)用

【類型一】利用方向角解決問題

某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60方向上，航行半小時后到達(dá)點B，測得該島在北偏東30方向上，

已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．

(1)試說明點B是否在暗礁區(qū)域外；

(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．

解析：(1)求點B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過構(gòu)造直角三角形來求CB的長，作CD⊥AB于D點，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD的長，再求出CB的長；(2)本題實際上是問C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無觸礁危險，反之則有，CD的值在第(1)問已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．

解：(1)作CD⊥AB于D點，設(shè)BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60，∴BD＝x，CD＝x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30，tan∠CAD＝＝，∴＝.∴x＝18.∵18>16，∴點B是在暗礁區(qū)域外；

(2)∵CD＝x＝9，9＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險．

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中解決．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型二】利用仰角和俯角解決問題

某中學(xué)九年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”時，組織開展測量物體高度的實踐活動．在活動中，某小組為了測量校園內(nèi)①號樓AB的高度(如圖)，站在②號樓的C處，測得①號樓頂部A處的仰角α＝30，底部B處的俯角β＝45.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號樓AB的高度(結(jié)果保留根號)．

解析：根據(jù)在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，求出BE的值，再根據(jù)在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，求出AE的值，最后根據(jù)AB＝AE＋BE，即可求出答案．

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝，∴AE＝CEtan∠ACE＝18tan30＝6(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6(米)．

所以，①號樓AB的高為(18＋6)米．

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第1題

【類型三】求河的寬度

根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1，∠BCA＝68.2，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1≈0.97，cos76.1≈0.24，tan76.1≈4.0，sin68.2≈0.93，cos68.2≈0.37，tan68.2≈2.5)．

解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．

解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝ACtan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝ADtan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4≈546.7m.

所以，AB的長約為546.7m.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋?/p>

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題

【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用

如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點E處測得山頂A的仰角是30，然后，她沿著坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分鐘抵達(dá)C處，此時，測得A點的俯角是15.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，結(jié)果精確到0.1米)．

解析：作輔助線EF⊥AC于點F，根據(jù)速度乘以時間得出CE的長度，通過坡度得到∠ECF＝30，通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45，即可求出AE的長度．

解：作EF⊥AC于點F，根據(jù)題意，得CE＝1815＝270(米)．

∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45.∵∠ECF＝90－45－15＝30，∴EF＝CE＝135米．∵∠CEF＝60，∠AEB＝30，∴∠AEF＝180－45－60－30＝45，∴AE＝EF＝135≈190.4(米)．