對(duì)頂角、補(bǔ)角和余角教案

1．理解并掌握對(duì)頂角的概念及性質(zhì)，會(huì)用對(duì)頂角的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題；

2．理解并掌握補(bǔ)角和余角的概念及性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用其解決一些實(shí)際問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖，若把剪刀看成是兩條相交的直線構(gòu)成的，那么形成的角中小于平角的角有幾個(gè)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：對(duì)頂角及其性質(zhì)

【類型一】對(duì)頂角的概念

下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是()

解析：選項(xiàng)A中的兩個(gè)角的頂點(diǎn)沒有公共；選項(xiàng)B、D中的兩個(gè)角的兩邊沒有在互為反向延長線的兩條直線上，只有選項(xiàng)C中的兩個(gè)角符合對(duì)頂角的定義．故選C.

方法總結(jié)：對(duì)頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的，只有兩條直線相交時(shí)，才能構(gòu)成對(duì)頂角．

【類型二】直接運(yùn)用對(duì)頂角的性質(zhì)求角度

如圖，直線AB、CD，EF相交于點(diǎn)O，∠1＝40，∠BOC＝110，求∠2的度數(shù)．

解析：結(jié)合圖形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度數(shù)，根據(jù)“對(duì)頂角相等”可得∠2的度數(shù)．

解：因?yàn)椤?＝40，∠BOC＝110(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110－40＝70.因?yàn)椤螧OF＝∠2(對(duì)頂角相等)，所以∠2＝70(等量代換)．

方法總結(jié)：兩條相交直線構(gòu)成對(duì)頂角，這時(shí)應(yīng)注意“對(duì)頂角相等”這一隱含的結(jié)論．在圖形中正確找到對(duì)頂角，利用角的和差及對(duì)頂角的性質(zhì)找到角的等量關(guān)系，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

探究點(diǎn)二：補(bǔ)角和余角

【類型一】利用補(bǔ)角和余角計(jì)算求值

已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30，求∠B的度數(shù)．

解析：根據(jù)∠A與∠B互余，得出∠A＋∠B＝90，再由∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30，從而得到∠A＝3∠B＋30，再把兩個(gè)算式聯(lián)立即可求出∠2的值．

解：∵∠A與∠B互余，∴∠A＋∠B＝90.又∵∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30，∴設(shè)∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30＝3x＋30，∴3x＋30＋x＝90，解得x＝15，故∠B的度數(shù)為15.

方法總結(jié)：此題把角的關(guān)系結(jié)合方程問題一起解決，即把相等關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程來解決．

【類型二】補(bǔ)角、余角和角平分線的綜合計(jì)算

如圖，已知∠AOB在∠AOC內(nèi)部，∠BOC＝90，OM、ON分別是∠AOB，∠AOC的平分線，∠AOB與∠COM互補(bǔ)，求∠BON的度數(shù)．

解析：根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠AOB＋∠COM＝180.根據(jù)角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BOM＝∠AOB.根據(jù)解方程，可得∠AOB的度數(shù)．根據(jù)角的和差，可得答案．

解：∵∠AOB與∠COM互補(bǔ)，∴∠AOB＋∠COM＝180，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180.∵∠COB＝90，∴∠AOB＋∠BOM＝90.∵OM是∠AOB的平分線，∴∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90，解得∠AOB＝60，∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90＋60＝150.∵ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝150＝75.由角的和差，∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75－60＝15.

方法總結(jié)：本題考查了余角與補(bǔ)角及角平分線的相關(guān)知識(shí)，利用了補(bǔ)角的性質(zhì)，角的和差，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，解決問題一定要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，做到數(shù)形結(jié)合．

【類型三】補(bǔ)角和余角的性質(zhì)

如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．

(1)如圖①，若CE是∠ACD的角平分線，那么CD是∠ECB的角平分線嗎？并簡述理由；

(2)如圖②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的內(nèi)部，請(qǐng)你猜想∠ACE與∠DCB是否相等？并簡述理由；

(3)在(2)的條件下，請(qǐng)問∠ECD與∠ACB的和是多少？并簡述理由．

解析：(1)首先根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)得到∠ACD＝90，∠ECB＝90.再根據(jù)角平分線的定義計(jì)算出∠ECD和∠DCB的度數(shù)即可；(2)∠ACE與∠DCB相等，根據(jù)“等角的余角相等”即可得到答案；(3)根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行等量代換即可．