直角三角形全等的判定教案

1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜邊、直角邊”；(重點(diǎn))

2．經(jīng)歷探究“斜邊、直角邊”判定方法的過程，能運(yùn)用“斜邊、直角邊”判定方法解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

舞臺背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．

(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？

(2)如果他只帶了一個(gè)卷尺，能完成這個(gè)任務(wù)嗎？

工作人員測量了每個(gè)三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”，你相信他的結(jié)論嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：直角三角形全等的判定

【類型一】應(yīng)用“HL”證明三角形全等

如圖，已知∠A＝∠D＝90，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.

求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.

解析：由題意可得△ABF與△DCE都為直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后運(yùn)用“HL”即可判定Rt△ABF與Rt△DCE全等．

證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵

∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．

方法總結(jié)：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三角形是直角三角形，然后找出對應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可．

【類型二】利用“HL”證明線段相等

如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.

解析：根據(jù)“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據(jù)“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.

證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.

方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．

【類型三】利用“HL”證明角相等

如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2.

解析：要證角相等，可先證明全等．即證Rt△ABC≌Rt△ADC，進(jìn)而得出角相等．

證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90，∴△ABC與△ACD為直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.

方法總結(jié)：證明角相等可通過證明三角形全等解決．

【類型四】利用“HL”解決動點(diǎn)問題

如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q兩點(diǎn)分別在線段AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合．那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，才能使△ABC與△APQ全等？

解析：本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝10，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合，不合題意．

解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：①當(dāng)P運(yùn)動到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90，∴在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC，不合題意．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到距離點(diǎn)A為10時(shí)，△ABC與△APQ全等．

方法總結(jié)：判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．

【類型五】綜合運(yùn)用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等

如圖，CD⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于E點(diǎn)，BE，CD交于O點(diǎn)，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.

解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根據(jù)AAS證得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可證得OB＝OC.

證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵