離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)．

B．會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．

C．會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問題．

1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的均值的概念

2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求離散型隨機(jī)變量的均值

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差。

我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差.

二、探究新知

探究1.甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？

類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)

當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,

這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平.

同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.

從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.

一、離散型隨機(jī)變量取值的平均值.

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：則稱

為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

三、典例解析

例1. 在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?

分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時(shí)X=1,不中時(shí)X=0,因此隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,X的均值反映了該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的平均得分水平.

解：因?yàn)?/span>P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，

所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2 =0.8

即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，

那么：

例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X,求X的均值.

分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計(jì)算X的均值。

解：X的分布列為??(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6

因此,E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5.

求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：

(1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；

(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率；

(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略)；

(4)利用定義公式求出均值

跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．

[解] X的取值分別為1,2,3,4.

X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，

故P(X＝1)＝0.6.

X＝2，表明李明第一次考試未通過，

第二次通過了，故P(X＝2)＝(1－0.6)0.7＝0.28.

X＝3，表明李明第一、二次考試未通過，第三次通過了，

故P(X＝3)＝(1－0.6)(1－0.7)0.8＝0.096.

X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，

故P(X＝4)＝(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)＝0.024.

所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為

所以X的均值為E(X)＝10.6＋20.28＋30.096＋40.024＝1.544.

探究2. 已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.

設(shè)都是實(shí)數(shù)且，則Y + 也是一個(gè)隨機(jī)變量，那么，這兩個(gè)隨機(jī)變量的均值之間有什么聯(lián)系呢？

離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)

若X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個(gè)隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:

(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.

(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)的和.

(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.

例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：

規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.

(??=6000)=(??????)=0.80.60.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

??的均值為??(??)=00.2+10000.32+30000.288+60000.192=2336.

思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？

解：如果按ACB的順序來猜歌,分別用A,B,C表示猜對歌曲A,B,C歌名的事件，,

(??=6000)=(??CB)=0.80.40.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大

例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：

方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。

方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?

分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：

方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。

解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X₁,X₂,X₃.

采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X₁=3800)=1.

采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時(shí),總損失為2000元,因此,P(X₂=62 000)=0.01,P(X₂=2000)=0.99.

采用方案3,P(X₃=60 000)=0.01,P(X₃=10000)=0.25,P(X₃=0)=0.74.

于是,E(X₁)=3800,

E(X₂)=62 0000.01+2 0000.99=2 600,

E(X₃)=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.

因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.

值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來理解“期望總損失”:如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小,不過,因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的,所以對于個(gè)別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.

通過知識回顧，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說出自己見解。從而引入離散型隨機(jī)變量分布列均值的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，提升對概念精細(xì)化的理解。引出兩點(diǎn)分布均值的概念。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1．若隨機(jī)變量X的分布列為

則E(X)＝( )

A．0 B．－1 C．－ D．－

C [E(X)＝(－1)＋0＋1＝－.]

2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為( )

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

P(X=2)=0.40.6=0.24; P(X=1)=0.4²0.6=0.096;

P(X=0)=0.4³=0.064.

所以E(X)=30.6+20.24+10.096+00.064=2.376.

答案:C

3.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)= .

解析:因?yàn)?/span>+t+=1,所以t=

E(ξ)=1+2+3

E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3+2=

答案:

4.設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,,2用X表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)= .

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。