離散型隨機變量及其分布列(1)教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解隨機變量的意義,了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)別;

B.掌握離散型隨機變量的概念,能夠寫出隨機變量的取值以及隨機試驗的結果.

1.數(shù)學抽象：離散型隨機變量的概念

2.邏輯推理：離散型隨機變量與函數(shù)的關系

3.數(shù)學運算：會寫出離散型隨機變量

4.數(shù)學建模：離散型隨機變量的表示

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、問題導學

求隨機事件的概率時,我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間,并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應關系,如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應,將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便,而且能更好地利用數(shù)學工具研究隨機試驗.

1. 隨機試驗：一般地，一個試驗如果滿足下列條件：

①試驗可以在相同的情形下重復進行；

②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不只一個；

③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但在一次試驗之

前卻不能肯定這次試驗

會出現(xiàn)哪一個結果; 這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起

見，也簡稱試驗.

2.函數(shù)：一般地,設A,B是非空的數(shù)集,如果使對于集合 A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù) y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作:

隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間能否建立某種對應關系呢？

二、新知探究

探究1.有些隨機試驗的樣本空間與數(shù)值有關系,我們可以直接與實數(shù)建立關系.

（1）擲一枚骰子用實數(shù)??(??=1,2,3,4,5,6)表示“擲出的點數(shù)為??”，又如,

擲兩枚骰子樣本空間為Ω={ (??,??) |??,??=1,2,?6},

用??+??表示“兩枚骰子的點數(shù)之和”樣本點(??,??)就與實數(shù)??+??對應.

（2）.某射擊運動員在射擊訓練中，其中某次射擊可能出現(xiàn)命中的環(huán)數(shù)情況有哪些？

實數(shù)??(??=0,1,2,3,4,5,6,,10)表示“擊中環(huán)數(shù)??”

（0環(huán)、1環(huán)、2環(huán)、、10環(huán)）共11種結果

（1）隨機抽取一件產(chǎn)品,有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結果它們與數(shù)值無關.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即：

，這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應關系

探究2.有些隨機試驗的樣本空間與數(shù)值沒有直接關系,可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值.

類似地,（2）.擲一枚硬幣,可將試驗結果“正面朝上”用1表示,“反面朝上”用0表示

（3）.隨機調(diào)查學生的體育綜合測試成績,可將等級成績優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5.4.3.2.1;等等,對于任何一個隨機試驗,總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應。

即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X,來刻畫樣本點和實數(shù)的對應關系,實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性,所以變量X的取值也具有隨機性。

探究3.考察下列隨機試驗及其引入的變量：

試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行試驗，變量X 表示三個元件中次品數(shù);

試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y 表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?

各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量X,Y 有哪些共同的特征?

試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行試驗，變量X 表示三個元件中次品數(shù);用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,

用0和1構成的長度為3的字符串表示樣本點,則樣本空Ω₁={000,001,010,100,011,101,110,111}

試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y 表示需要的拋擲次數(shù).

問題探究

問題：變量X,Y 有哪些共同的特征?

(1).取值依賴于樣本點;(2).所有可能取值是明確的.

1.隨機變量的定義

2.離散型隨機變量的定義：

隨機變量的特點

（1）可以用數(shù)字表示

（2）試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值

（3）在試驗之前不可能確定取何值

隨機變量將隨機事件的結果數(shù)量化．

1.下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由．

(1)上海國際機場候機室中2020年10月1日的旅客數(shù)量；

(2)2021年某天濟南至北京的D36次列車到北京站的時間；

(3)2021年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；

(4)體積為1000 cm³的球的半徑長．

【解】 (1)候機室中的旅客數(shù)量可能是：0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．

(2)D36次濟南至北京的列車，到達終點的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準時，亦可能晚點，故是隨機變量．

(3)在2019年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)是隨機變化的，也可能多，也可能少，因此是隨機變量．

(4)體積為1000 cm³的球的半徑長為定值，故不是隨機變量．

隨機變量從本質上講就是以隨機試驗的每一個可能結果為自變量的一個函數(shù)，即隨機變量的取值實質上是試驗結果對應的數(shù)，但這些數(shù)是預先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一個值．

3.隨機變量與函數(shù)的關系

(1)相同點

(2)不相同點：

所謂隨機變量，即是隨機試驗的試驗結果和實數(shù)之間的一個對應關系，這種對應關系是人為建立起來的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實數(shù)，而在隨機變量的概念中，隨機變量X的自變量是試驗結果,不一定是實數(shù)

4.連續(xù)性隨機變量

連續(xù)型隨機變量是指可以取某一區(qū)間的一切值的隨機變量,又稱作連續(xù)型隨機變量.

如：

問題：你能總結隨機變量X的特點嗎？

(1)可以用數(shù)量來表示;

(2)試驗前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;

(3)在試驗前不能確定取何值.

2.下列變量中是離散型隨機變量的是？

(1)下期《詩詞大會》節(jié)目中過關的人數(shù)；

(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；

(3)在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50 m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進行編號，其中某一電線鐵塔的編號；

(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位．

答案：(1)(3)

【解析】 (1)是離散型隨機變量．因為過關人數(shù)可以一一列出．

(2)不是離散型隨機變量．因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出．

(3)是離散型隨機變量．因為電線鐵塔為有限個，其編號從1開始可一一列出．

(4)不是離散型隨機變量．因為水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化，對水位值我們不能按一定次序一一列出．

變式探究：將本例的(4)改為：監(jiān)測站所測水位X是否超過警戒水位(警戒水位是29 m)，X是離散型隨機變量嗎?

解：設X＝，是離散型隨機變量．

判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法

（1）明確隨機試驗的所有可能結果；

（2）將隨機試驗的試驗結果數(shù)量化；

（3）確定試驗結果所對應的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是.

三、典例解析

例1.寫出下列各隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取值所表示的隨機試驗的結果：

（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)X 。

（2）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球數(shù)X．

（3）拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和X．

（4）接連不斷地射擊，首次命中目標需要的射擊次數(shù)X ．

（5）某一自動裝置無故障運轉的時間X．

（6）某林場樹木最高達30米，此林場樹木的高度X ．

解析：（1）X ＝1、2、3、、10；

（2）X＝0、1、2、3；

（3）X＝2、3、4、、12；

（4） X＝1、2、3、、n、；

（5） X取內(nèi)的一切值； （6）X取內(nèi)的一切值.

例2.從標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．

解析：設所取卡片上的數(shù)字之和為X，則X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示取出標有1,2的兩張卡片；

X＝4，表示取出標有1,3的兩張卡片；

X＝5，表示取出標有2,3或1,4的兩張卡片；

X＝6，表示取出標有2,4或1,5的兩張卡片；

X＝7，表示取出標有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；

X＝8，表示取出標有2,6或3,5的兩張卡片；

X＝9，表示取出標有3,6或4,5的兩張卡片；

X＝10，表示取出標有4,6的兩張卡片；

X＝11，表示取出標有5,6的兩張卡片．

變式探究：本題中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機變量X，請問X有哪些取值？其中X＝4表示什么含義？

解析：X的所有可能取值有：1,2,3,4,5共5個．

“X＝4”表示取到卡片1和卡片5或卡片2和卡片6兩種結果．

跟蹤訓練：⑴擲兩枚均勻硬幣一次，則正面?zhèn)€數(shù)與反面?zhèn)€數(shù)之差的可能的值有 ．

⑵袋中有大小相同的5個小球，分別標有1、2、3、4、5五個號碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個小球，設兩個小球號碼之和為X，則X所有可能值的個數(shù)是 個；

“X＝4”表示 ．

解析：（1）－2、0、2；（2）9；“第一次抽1號、第二次抽3號，或者第一次抽3號、第二次抽1號，或者第一次、第二次都抽2號．

解決此類問題的關鍵是理解清楚隨機變量所有可能的取值及其取每一個值時對應的意義，不要漏掉或多取值，同時要找好對應關系．

例3.某人去商場為所在公司買玻璃水杯若干只，公司要求至少要買50只，但不得超過80只．商場有優(yōu)惠規(guī)定：一次購買這種玻璃水杯小于或等于50只不優(yōu)惠，大于50只的，超出部分按原價的7折優(yōu)惠，已知原來的水杯價格是每只6元．這個人一次購買水杯的只數(shù)X是一個隨機變量，那么他所付的款額Y是否也是一個隨機變量呢？這兩個隨機變量有什么關系？

解析：公司至少要買50只，則

Y=506+(X?50)60.7=300+4.2???210=4.2??+90.

若X是隨機變量,則Y=aX+b(其中a、b是常數(shù))也是隨機變量.

開門見山，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而建立離散型隨機變量的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

讓學生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得離散型隨機變量概念的過程。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過與函數(shù)概念的比較，讓學生深化對離散型隨機變量的概念。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過概念辨析，讓學生與連續(xù)性隨機變量比較，深化對隨機變量的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，深化概率的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是( )

A．取到的球的個數(shù)

B．取到紅球的個數(shù)

C．至少取到1個紅球

D．至少取到1個紅球的概率

B [A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求．]

2．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為ξ，那么ξ＝4表示的隨機試驗的結果是( )

A．一枚是3點，一枚是1點

B．兩枚都是2點

C．兩枚都是4點

D．一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點

D [ξ＝4可能出現(xiàn)的結果是一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點．]

3．在一批產(chǎn)品中共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取得合格品之前取出的次品數(shù)ξ的所有可能取值是________．

0,1,2,3 [可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．]

4.寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．

(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X.

(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X.

(3). 在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個紅球贏2元，而每取出一個白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結果如何？

[解] (1)X可取0,1,2,3.X＝0表示取5個球全是紅球；

X＝1表示取1個白球，4個紅球；

X＝2表示取2個白球，3個紅球；

X＝3表示取3個白球，2個紅球．

(2)X可取3,4,5.X＝3表示取出的球編號為1,2,3；

X＝4表示取出的球編號為1,2,4；1,3,4或2,3,4.

X＝5表示取出的球編號為1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.

(3) ξ＝10表示取5個球全是紅球；

ξ＝7表示取1個白球，4個紅球；

ξ＝4表示取2個白球，3個紅球；

ξ＝1表示取3個白球，2個紅球．

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。