平行線的判定教案

第一環(huán)節(jié)：情景引入

活動內(nèi)容：

回顧兩直線平行的判定方法

師：前面我們探索過直線平行的條件．大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？

生1：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就叫做平行線．

生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行．

生3：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補兩直線平行．

師：很好．這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活動得到的．

上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題．除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實．

我們知道：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義．“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理．那其他的三個真命題如何證實呢？這節(jié)課我們就來探討．

活動目的：

回顧平行線的判定方法，為下一步順利地引出新課埋下伏筆．

教學(xué)效果：由于平行線的判定方法是學(xué)生比較熟悉的知識，教師通過對話的形式，可以使學(xué)生很快地回憶起這些知識．

第二環(huán)節(jié)：探索平行線判定方法的證明

活動內(nèi)容：

① 證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．

師：這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號語言．所以根據(jù)題意，可以把這個文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式：

如圖，已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補，求證：a∥b．

如何證明這個題呢？我們來分析分析．

師生分析：要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明．這時從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3，則a與b即平行．

因為從圖中可知∠2與∠3組成一個平角，即∠2+∠3=180,所以：∠3=180－∠2．又因為已知條件中有∠2與∠1互補，即：∠2+∠1=180,所以∠1=180－∠2,因此由等量代換可以知道：∠1=∠3．

師：好．下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫．（在書寫的同時說明：符號“∵”讀作“因為”，“∴”讀作“所以”）

證明：∵∠1與∠2互補（已知） ∴∠1+∠2=180（互補定義）

∴∠1=180－∠2（等式的性質(zhì)）∵∠3+∠2=180（平角定義）

∴∠3=180－∠2（等式的性質(zhì)）

∴∠1=∠3（等量代換）

∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）

這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理．

這一定理可簡單地寫成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．

注意：（1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù)．用來證明新定理．（2）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”．這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理．在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi)．

② 證明：內(nèi)錯角相等,兩直線平行．

師：小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？（見相關(guān)動畫）

生：我認為他的作法對．他的作法可用上圖來表示：∠CFE=45,∠BEF=45．因為∠BEF與∠FEA組成一個平角，所以∠FEA=180－∠BEF=180－45=135．而∠CFE與∠FEA是同旁內(nèi)角．且這兩個角的和為180，因此可知：CD∥AB．

師：很好．從圖中可知：∠CFE與∠FEB是內(nèi)錯角．因此可知：“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”是真命題．下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個真命題的證明過程．

師生分析：已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2．

求證：a∥b

證明：∵∠1=∠2（已知） ∠1+∠3=180（平角定義）

∴∠2+∠3=180（等量代換） ∴∠2與∠3互補（互補的定義）∴a∥b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．

這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．

③ 借助“同位角相等，兩直線平行”這一公理，你還能證明哪些熟悉的結(jié)論呢？

生1：已知，如圖，直線a⊥c,b⊥c．求證：a∥b．

證明：∵a⊥c,b⊥c（已知）