兩條直線平行和垂直的判定

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上,過山車的運動包含了許多數(shù)學和物理學原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設備安全,柱子之間還有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢?

二、探究新知

（一）、兩條直線平行與斜率之間的關系

設兩條不重合的直線l1,l2,傾斜角分別為α1,α2,斜率存在時斜率分別為k1,k2.則對應關系如下:

點睛：若沒有指明l1,l2不重合,那么k1=k2?用斜率證明三點共線時,常用到這一結論.

1.對于兩條不重合的直線l1,l2,“l(fā)1∥l2”是“兩條直線斜率相等”的什么條件?

答案:必要不充分條件,如果兩不重合直線斜率相等,則兩直線一定平行;反過來,兩直線平行,

有可能兩直線斜率均不存在.

2.已知直線l1經過兩點(-1,-2),(-1,4),直線l2經過兩點(2,1),(x,6),且l1∥l2,則x=

解析:由題意知l1⊥x軸.又l1∥l2,所以l2⊥x軸,故x=2.

答案:2

3．思考辨析

(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行．( )

(2)若l1∥l2，則k1＝k2.( )

(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．( )

(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．( )

答案： (1) 也可能重合．(2) l1∥l2，其斜率不一定存在．

(3) 不一定垂直，只有另一條直線斜率為0時才垂直．(4)√

（二）、兩條直線垂直與斜率之間的關系

點睛：“兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件.因為兩條直線垂直時,除了斜率之積等于-1,還有可能一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.

4.若直線l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關系是

解析:由根與系數(shù)的關系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.

答案:l1⊥l2

三、典例解析

例1 判斷下列各小題中的直線l1與l2是否平行:

(1)l1經過點A(-1,-2),B(2,1),l2經過點M(3,4),N(-1,-1);

(2)l1的斜率為1,l2經過點A(1,1),B(2,2);

(3)l1經過點A(0,1),B(1,0),l2經過點M(-1,3),N(2,0);

(4)l1經過點A(-3,2),B(-3,10),l2經過點M(5,-2),N(5,5).

思路分析: 斜率存在的直線求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2進行判斷,若兩直線斜率都不存在,可通過觀察并結合圖形得出結論.

解:(1)k1==1,k2=,k1≠k2,l1與l2不平行.

(2)k1=1,k2==1,k1=k2,

故l1∥l2或l1與l2重合.

(3)k1==-1,k2==-1,則有k1=k2.

又kAM==-2≠-1,

則A,B,M不共線.故l1∥l2.

(4)由已知點的坐標,得l1與l2均與x軸垂直且不重合,故有l(wèi)1∥l2.

延伸探究 已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,則m的值為

解析:當m=-2時,直線AB的斜率不存在,而直線MN的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;

當m=-1時,直線MN的斜率不存在,而直線AB的斜率存在,MN與AB不平行,不合題意;

當m≠-2,且m≠-1時,kAB=,

kMN=.

因為AB∥MN,所以kAB=kMN,

即,解得m=0或m=1.

當m=0或1時,由圖形知,兩直線不重合.

綜上,m的值為0或1.

答案:0或1

判斷兩直線是否平行的步驟

例2(1)直線l1經過點A(3,2),B(3,-1),直線l2經過點M(1,1),N(2,1),判斷l(xiāng)1與l2是否垂直;

(2)已知直線l1經過點A(3,a),B(a-2,3),直線l2經過點C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.

思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的條件判斷;若一條直線的斜率不存在,再看另一條直線的斜率是否為0,若為0,則垂直.

(2)當兩直線的斜率都存在時,由斜率之積等于-1求解;若一條直線的斜率不存在,由另一條直線的斜率為0求解.

解:(1)直線l1的斜率不存在,直線l2的斜率為0,所以l1⊥l2.

(2)由題意,知直線l2的斜率k2一定存在,直線l1的斜率可能不存在.

當直線l1的斜率不存在時,3=a-2,即a=5,此時k2=0,

則l1⊥l2,滿足題意.

當直線l1的斜率k1存在時,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=

由l1⊥l2,知k1k2=-1,即=-1,解得a=0.

綜上所述,a的值為0或5

兩直線垂直的判定方法

兩條直線垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提條件是兩條直線斜率都存在,若其中一條直線斜率不存在,另一條直線斜率為零,此時兩直線也垂直.

跟蹤訓練1 已知定點A(-1,3),B(4,2),以AB為直徑作圓,與x軸有交點P,則交點P的坐標是

解析:設以AB為直徑的圓與x軸的交點為P(x,0).

∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPAkPB=-1,

即=-1,

∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,

解得x=1或x=2.故點P的坐標為(1,0)或(2,0).

答案:(1,0)或(2,0)

例3 如圖所示,在平面直角坐標系中,四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.試判斷四邊形OPQR的形狀.

思路分析:利用直線方程的系數(shù)關系,或兩直線間的斜率關系,判斷兩直線的位置關系.

解:由斜率公式得kOP==t,

kRQ==t,kOR==-,

kPQ==-.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,

從而OP∥RQ,OR∥PQ.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又kOPkOR=-1,所以OP⊥OR,

故四邊形OPQR為矩形.

延伸探究1 將本例中的四個點,改為“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),順次連接A,B,C,D四點,試判斷四邊形ABCD的形狀.”

由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC==-.

所以kAB=kCD,由圖可知AB與CD不重合,

所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD與BC不平行.

又因為kABkAD=(-3)=-1,

所以AB⊥AD,故四邊形ABCD為直角梯形.

解:由題意A,B,C,D四點在平面直角坐標系內的位置如圖,

延伸探究2 將本例改為“已知矩形OPQR中四個頂點按逆時針順序依次為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),試求頂點R的坐標.”

解:因為OPQR為矩形,所以OQ的中點也是PR的中點.

設R(x,y),則由中點坐標公式知

解得所以R點的坐標是(-2t,2).

利用兩條直線平行或垂直來判斷圖形形狀的步驟

點睛：利用平行、垂直關系式的關鍵在于正確求解斜率，特別是含參數(shù)的問題，必須要分類討論；其次要注意的是斜率不存在并不意味著問題無解．

金題典例 已知點A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四邊形ABCD為直角梯形,求點D的坐標.

思路分析:分析題意可知,AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊,所以要考慮CD是直角梯形的直角邊和AD是直角梯形的直角邊這兩種情況;設所求點D的坐標為(x,y),若CD是直角梯形的直角邊,則BC⊥CD,AD⊥CD,根據(jù)已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,從而有x=3;接下來再根據(jù)kAD=kBC即可得到關于x、y的方程,結合x的值即可求出y,那么點D的坐標便不難確定了,同理再分析AD是直角梯形的直角邊的情況.

解:設所求點D的坐標為(x,y),如圖所示,由于kAB=3,kBC=0,

則kABkBC=0≠-1,即AB與BC不垂直,故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊.

①若CD是直角梯形的直角邊,則BC⊥CD,AD⊥CD,

∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,從而有x=3.

又∵kAD=kBC,∴=0,即y=3.此時AB與CD不平行.

故所求點D的坐標為(3,3).

②若AD是直角梯形的直角邊,

則AD⊥AB,AD⊥CD,kAD=,kCD=.

由于AD⊥AB,則3=-1.

又AB∥CD,∴=3.

解上述兩式可得此時AD與BC不平行.

故所求點D的坐標為

綜上可知,使四邊形ABCD為直角梯形的點D的坐標可以為(3,3)或

反思感悟：先由圖形判斷四邊形各邊的關系,再由斜率之間的關系完成求解.特別地,注意討論所求問題的不同情況.

通過生活中的現(xiàn)實情境，提出問題，明確研究問題運用代數(shù)方法探究兩直線平行與垂直問題，引導學生回顧初中兩直線平行與垂直的幾何知識，為探究運用斜率判斷直線平行和垂直作知識上的準備。

由坐標系中的直線，讓學生理解直線傾斜角和斜率的概念。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生加深對利用直線斜率判斷兩直線平行和垂直的方法，提升運用能力。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進一步讓理解運用直線斜率判斷直線平行u垂直的方法，提升推理論證能力，進一步體會坐標法解決問題的基本思想。

三、達標檢測

1．下列說法正確的是( )

A．若直線l1與l2傾斜角相等，則l1∥l2

B．若直線l1⊥l2，則k1k2＝－1

C．若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸

D．若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行

解析：A中，l1與l2可能重合；B中，l1，l2可能存在其一沒斜率；C中，直線也可能與y軸重合；D正確，選D.

答案 D

2.若直線l1的斜率為a,l1⊥l2,則直線l2的斜率為( )

解析:若a≠0,則l2的斜率為-;若a=0,則l2的斜率不存在.

答案:D

3.已知直線l1的傾斜角為45,直線l1∥l2,且l2過點A(-2,-1)和B(3,a),則a的值為

解析:由題意,得=1,即a=4.

答案:4

4.已知△ABC的三個頂點分別是A(2,2),B(0,1),C(4,3),點D(m,1)在邊BC的高所在的直線上,

則實數(shù)m=

解析:設直線AD,BC的斜率分別為kAD,kBC,由題意,得AD⊥BC,

則有kADkBC=-1,所以有=-1,解得m=.

答案:

5.順次連接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,判斷四邊形ABCD形狀.

解:kAB=,kBC=-,kCD=,kAD=-3,所以直線AD垂直于直線AB與CD,而且直線BC不平行于任何一條直線,所以四邊形ABCD是直角梯形.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。