30，45，60角的三角函數(shù)值教案

1．經(jīng)歷探索30，45，60角的三角函數(shù)值的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義；(重點(diǎn))

2．能夠進(jìn)行30，45，60角的三角函數(shù)值的計(jì)算；(重點(diǎn))

3．能夠根據(jù)30，45，60角的三角函數(shù)值說(shuō)出相應(yīng)銳角的大?。?難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

在直角三角形中(利用一副三角板進(jìn)行演示)，如果有一個(gè)銳角是30(如圖①)，那么另一個(gè)銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個(gè)銳角是45呢(如圖②)？由此你能發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：30，45，60角的三角函數(shù)值

【類型一】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算

計(jì)算：

(1)2cos60sin30－sin45sin60；

(2).

解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．

解：(1)原式＝2－＝－＝－1；(2)原式＝＝2－3.

方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題

【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍

若cosα＝，則銳角α的大致范圍是()

A．0＜α＜30 B．30＜α＜45

C．45＜α＜60 D．0＜α＜30

解析：∵cos30＝，cos45＝，cos60＝，且＜＜，∴cos60＜cosα＜cos45，∴銳角α的范圍是45＜α＜60.故選C.

方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題

【類型三】已知三角函數(shù)值，求角度

根據(jù)下列條件，確定銳角α的值：

(1)cos(α＋10)－＝0；

(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0.

解析：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求α的值；(2)用因式分解法解關(guān)于tanα的一元二次方程即可．

解：(1)cos(α＋10)＝，α＋10＝30，∴α＝20；(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0，(tanα－1)(tanα－)＝0，tanα＝1或tanα＝，∴α＝45或α＝30.

方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值以及將“tanα”看作一個(gè)未知數(shù)解方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用

【類型一】特殊角的三角函數(shù)值與其他知識(shí)的綜合

已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，試判斷△ABC的形狀．

解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45，∠B＝60，∠C＝180－45－60＝75，∴△ABC是銳角三角形．

方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

【類型二】利用特殊角的三角函數(shù)值求三角形的邊長(zhǎng)

如圖所示，在△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AD是△ABC的角平分線，若AC＝，求線段AD的長(zhǎng)．

解析：首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠BAC的度數(shù)，再求出∠CAD＝30，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長(zhǎng)度．

解：∵△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，∴∠BAC＝60.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝30，∴在Rt△ADC中，AD＝＝＝2.

方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想，將已知和未知元素化歸到一個(gè)直角三角形中，進(jìn)行解答．

變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題

【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問(wèn)題

要求tan30的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C＝90，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30，∴tan30＝＝＝.在此圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15與tan75的值．

解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan15＝，tan75＝.

解：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設(shè)CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15＝＝2－，tan75＝＝＝2＋.

方法總結(jié)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15和75的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15和75的三角函數(shù)值．